Диагонализация матрицы линейного оператора. Тема

• Рассматривается линейный оператор, действующий в двухмерном пространстве.  

• Находим собственные значения и собственные векторы оператора.  

• Используем характеристический многочлен для нахождения корней.  

• Находим два собственных значения: 1 и 2.  

• Для первого собственного значения вектор переходит в себя с коэффициентом 1.  

• Для второго собственного значения вектор переходит в себя с коэффициентом 2.  

• Решаем систему уравнений для нахождения фундаментальной системы решений.  

• Для каждого собственного значения получаем единственный вектор.  

• Исследуем оператор, находя собственные значения и собственные векторы.  

• Переходим к новому базису, составленному из собственных векторов.  

• Преобразуем матрицу оператора с помощью матрицы перехода.  

• Используем метод Гаусса для нахождения обратной матрицы.  

• Умножаем исходную матрицу на матрицу перехода.  

• Получаем диагональную матрицу, состоящую из собственных значений.  

• Вводим понятия алгебраической и геометрической кратности собственных значений.  

• Алгебраическая кратность собственного значения равна степени корня характеристического многочлена.  

• Геометрическая кратность собственного значения равна размерности подпространства, соответствующего этому собственному значению.  

• Диагонализация матрицы возможна, если алгебраическая кратность равна геометрической кратности.  

• В примере характеристический многочлен раскладывается на множители.  

• Алгебраическая кратность первого собственного значения равна единице.  

• Геометрическая кратность первого собственного значения также равна единице.  

• Аналогично для второго собственного значения.  

• Матрица оператора диагонализируется в базисе из собственных векторов.