Сазонов А.И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Лекция 5

• Завершена лекция по матрицам и определителям.  

• Тема лекции: геометрические векторы.  

• План лекции: введение понятия вектора, линейные операции над векторами, проекция вектора на ось, геометрические векторы в декартовой системе координат.  

• Скалярные величины задаются числом.  

• Векторные величины задаются числом и направлением.  

• Основные операции над векторами сложнее, чем над числами.  

• Геометрический вектор - направленный отрезок в пространстве.  

• Обозначение вектора: буква со стрелкой или название отрезка.  

• Длина вектора - расстояние от начала до конца.  

• Нулевой вектор - вектор с совпадающими началом и концом.  

• Коллинеарные векторы лежат на параллельных прямых или одной прямой.  

• Сонаправленные и противоположно направленные векторы подразумевают коллинеарность.  

• Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.  

• Единичный вектор - вектор длиной 1.  

• Любой ненулевой вектор можно нормировать, превратив в единичный вектор.  

• Сложение векторов: правило треугольника и правило параллелограмма.  

• Сложение n векторов: правило многоугольника.  

• Вычитание векторов: правило треугольника.  

• Правило многоугольника является частным случаем правила треугольника.  

• В четырехугольнике можно провести диагональ и выбрать направление для сложения векторов.  

• Правила многоугольника и треугольника взаимосвязаны.  

• Произведением вектора на число лямда называется вектор лямда а.  

• Длина вектора лямда а равна произведению модуля лямда на длину вектора а.  

• Направление вектора лямда а совпадает с направлением вектора а при лямда больше нуля и противоположно при лямда меньше нуля.  

• Переместительный закон сложения: а плюс б равно б плюс а.  

• Сочетательный закон сложения: а плюс б плюс ц равно а плюс б плюс ц.  

• Распределительный закон: умножение числа на вектор а плюс б равно умножению числа на а плюс умножение числа на б.  

• Проекция точки а на ось эль находится через пересечение плоскости, перпендикулярной оси эль, с осью эль.  

• Проекция вектора а б на ось эль равна длине вектора а штрих бэ штрих, взятой со знаком плюс при остром угле и со знаком минус при тупом угле.  

• Угол между вектором а и осью эль находится путем переноса вектора параллельно самому себе до совпадения начала вектора с осью эль.  

• Угол может меняться от нуля до пи, в зависимости от направления вектора и оси.  

• Проекция суммы двух векторов на ось эль равна сумме проекций каждого вектора.  

• Это свойство иллюстрируется рисунком, где векторы а и б приводятся к общему началу для сложения.  

• Находим проекцию вектора а на ось эль и проекцию вектора б на ось эль.  

• Проекция суммы векторов а и б на ось эль равна сумме проекций каждого вектора.  

• Если угол между вектором и осью тупой, проекция берется со знаком минус.  

• Проекция вектора лямбда а на ось эль равна произведению числа лямбда на проекцию вектора а на ось эль.  

• Это свойство вытекает из понятия произведения вектора на число и определения проекции вектора на ось.  

• Проекция вектора а равна произведению длины вектора а на косинус угла альфа между вектором и осью эль.  

• Рассматриваются случаи, когда угол альфа острый и тупой.  

• В случае тупого угла проекция берется со знаком минус.  

• Прямоугольная система координат в пространстве определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, приведенными к одной точке.  

• Оси координат имеют одинаковую единицу масштаба.  

• Координаты точки в пространстве находятся путем опускания перпендикуляров или проведения параллельных прямых.  

• Косоугольная система координат отличается от прямоугольной тем, что оси координат могут пересекаться под произвольными углами.  

• Для нахождения координат точки в косоугольной системе проводятся прямые, параллельные осям координат.  

• Прямоугольная и косоугольная системы координат объединяются под общим названием декартова система координат, где под декартовой системой подразумевается прямоугольная система.  

• Вектор приводится в начало координат.  

• Вектор задается координатами x, y, z.  

• В аналитической геометрии используются формулы, а не геометрические построения.  

• Координата x - проекция вектора на ось x.  

• Координата y - проекция на ось y.  

• Координата z - проекция на ось z.  

• Вектор раскладывается по ортам i, j, k.  

• Вектор a = x*i + y*j + z*k.  

• Это разложение является следствием линейных операций над векторами.  

• Длина вектора вычисляется как корень из суммы квадратов координат.  

• Это можно доказать через теорему Пифагора.  

• Сумма векторов находится сложением координат.  

• Произведение вектора на число находится умножением координат на это число.  

• Эти формулы помогают решать задачи аналитически.  

• Координаты точки - это координаты ее радиус-вектора.  

• Радиус-вектор - это вектор, начало которого в начале координат, а конец в рассматриваемой точке.  

• Координаты точки равны координатам ее радиус-вектора.  

• Координаты вектора находятся вычитанием координат начала и конца.  

• Это позволяет находить координаты любого вектора в пространстве.  

• Расстояние между двумя точками равно длине вектора, соединяющего эти точки.  

• Длина вектора определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат.  

• Формула позволяет найти расстояние между точками, если известны их координаты.  

• Рассматривается прямоугольная система координат.  

• Заданы точки M1 и M2 с известными координатами.  

• Точка M делит отрезок M1M2 в заданном отношении λ.  

• Задача: найти координаты точки M, если известно отношение λ.  

• Вектор M1M2 представляется как разность векторов M1M и M2M.  

• Вектор M2M также представляется как разность векторов M2M и M.  

• Подстановка разностей в равенство позволяет выразить вектор M через векторы M1 и M2.  

• Формула верна для любых значений λ, кроме λ = -1.  

• Формула для координат точки M записывается в координатной форме.  

• Используются линейные операции над векторами для координат.  

• Формула позволяет найти координаты точки M, зная координаты точек M1 и M2 и отношение λ.  

• Рассматривается параллелограмм ABCD с точками M и O.  

• Находятся суммы и разности векторов для различных пунктов.  

• Используются правила сложения и вычитания векторов для решения задачи.  

• Задан тетраэдр ABCD с точками E и F.  

• Точка F делит ребро BC в отношении 1:2.  

• Выражается вектор EF через векторы DA, DB и DC.  

• Решение включает использование правил треугольника и отношения 1:2 для вектора CF.  

• Векторы а и б коллинеарны, если существует действительное число k такое, что вектор а можно представить в виде k умножить на вектор б.  

• Это замечание удобно использовать при решении задач.  

• Пример: определить, коллинеарны ли векторы аб и цд, если известны координаты точек а, б, ц, д.  

• Находим координаты векторов аб и цд.  

• Вектор аб имеет координаты 3, 2, -3, а вектор цд - -6, -4, 6.  

• Векторы аб и цд коллинеарны, так как вектор цд равен -2 умножить на вектор аб.  

• Пример: найти вектор д равный -3 умножить на вектор а минус вектор б плюс 4 умножить на вектор ц.  

• Используем линейные операции над координатами векторов.  

• Координаты вектора д равны -2, -3, 8.  

• Пятая лекция была насыщенной и важной.  

• Введены основные понятия геометрических векторов и линейные операции над ними.  

• Рассмотрено понятие проекции вектора на ось и координатный метод.  

• Лекция заложила фундамент для дальнейшего изучения аналитической геометрии.  

• Координатный метод упрощает решение задач и позволяет задавать новые понятия уравнениями в прямоугольной системе координат.