6.8 Метод Остроградского интегрирования рациональных дробей

• Метод Остроградского используется для вычисления интегралов от рациональных дробей.  

• Интегрирование дробей четвертого типа вызывает затруднения.  

• Метод позволяет избежать громоздких вычислений.  

• Метод предложен Михаилом Васильевичем Остроградским в 1844 году.  

• Пусть p/q — правильная рациональная дробь, где p и q — многочлены.  

• Многочлен q имеет кратные корни, действительные или комплексные.  

• Интеграл от дроби p/q равен дроби p1/q1 + интеграл от дроби p2/q2.  

• q1 — наибольший общий делитель многочлена q и его производной.  

• Многочлены p1 и p2 подбираются с неопределенными коэффициентами.  

• Знаменатели подбираются исходя из многочлена q.  

• Числители p1 и p2 также подбираются с неопределенными коэффициентами.  

• Для нахождения коэффициентов продифференцируйте равенство и приведите дроби к общему знаменателю.  

• Рациональная часть интеграла выделяется алгебраически.  

• Интегрирование дробей первого и третьего типов сводится к интегрированию дробей первого и третьего типов.  

• Метод применяется при наличии корней большой кратности у многочлена q.  

• Пример: вычислить интеграл от дроби x^2/x^2+2x+2.  

• Дробь правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.  

• Применяем формулу Остроградского и подбираем многочлены p1, q1, p2, q2.  

• Выписываем многочлен к от икс, стоящий в знаменателе дроби.  

• Проверяем, что квадратный трехчлен не раскладывается на множители.  

• Дискриминант отрицательный, корни комплексные и кратные.  

• Производная от к от икс равна двойке вперед, скобка в степени на единицу меньше.  

• Наибольший общий делитель многочленов к и его производной равен икс квадрат плюс два икс плюс два.  

• Многочлены п от икс имеют степень на единицу меньше, чем к один от икс и к два от икс.  

• Подставляем в формулу Остроградского для нахождения неизвестных коэффициентов.  

• Продифференцируем равенство для нахождения производных.  

• Приводим дроби к общему знаменателю и приравниваем числители.  

• Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной.  

• Решаем систему уравнений для нахождения коэффициентов абцд.  

• Подставляем найденные значения в формулу Остроградского.  

• Интеграл легко решается после сбора квадратного трехчлена в знаменателе.  

• Решаем интеграл методом Остроградского.  

• Получаем ответ: дробь единицы делить на икс квадрат плюс два икс плюс два плюс арктангенс икс плюс один.