Лекция 20. Разложение рациональной дроби на простейшие. Алгебраические и трансцендентные элементы

• Определение рациональных дробей и их представление в виде суммы многочлена и правильной дроби.  

• Основная теорема о рациональных дробях и её доказательство.  

• Разложение рациональной дроби на простейшие.  

• Базис пространства многочленов и его связь с базисом пространства рациональных дробей.  

• Размерность поля рациональных дробей как векторного пространства.  

• Следствие о размерности поля рациональных дробей над конечным или счетным полем.  

• Различие между базисом в алгебраическом смысле и базисом в анализе.  

• Кольцо формальных рациональных дробей как огромное образование.  

• Формулировка теоремы о базисе поля рациональных дробей.  

• Базис состоит из стандартных нормированных многочленов и дробей вида x^n/p^m.  

• Применение теоремы к алгебраически замкнутым полям.  

• Базис поля рациональных дробей над алгебраически замкнутым полем.  

• Определение простейших дробей и их свойства.  

• Теорема о представлении правильной дроби в виде суммы простейших дробей.  

• Дроби с одинаковым знаменателем можно представить в виде суммы простейших дробей.  

• Простейшая дробь представляется в виде линейной комбинации простейших дробей с числителем, не превосходящим степень п.  

• Доказательство существования и единственности представления дробей.  

• Существование представления доказывается с помощью алгоритма Евклида.  

• Лемма: правильная дробь с произведением взаимно простых знаменателей может быть представлена как сумма правильных дробей с этими знаменателями.  

• Доказательство леммы через деление с остатком.  

• Любая правильная дробь может быть представлена как сумма примарных дробей.  

• Алгоритм Евклида используется для разложения примарных дробей на простейшие.  

• Доказательство, что любая примарная дробь является конечной суммой простейших дробей.  

• Доказательство единственности разложения на простейшие дроби.  

• Переход к следующему параграфу для доказательства единственности.  

• Рассматривается факториальное кольцо и его поле частных.  

• Любой элемент поля частных имеет вид x/y, где x и y - ненулевые элементы кольца.  

• Основная теорема арифметики утверждает, что x и y можно представить как произведения простых чисел.  

• Деление x/y на y приводит к обратимому элементу.  

• Простые числа в кольце факториальны и не приводимы.  

• Теорема утверждает, что любой элемент поля частных допускает единственное представление в виде произведения простых чисел.  

• Для любого элемента поля частных можно определить периодический показатель.  

• Периодический показатель зависит только от самого элемента и не зависит от его представления.  

• Утверждается, что сумма простых чисел не может равняться нулю.  

• Сумма простых чисел не может равняться нулю, так как это приведет к разложению нуля на простейшие дроби.  

• Перенос слагаемых в другую часть уравнения показывает, что ни одно слагаемое не может входить в старшей степени.  

• Теорема о простейших дробях доказывает, что ни одно слагаемое не входит в старшей степени.  

• Теорема о простейших дробях важна для интегрирования и разложения на множители.  

• Формула Лагранжа и формула Эрмита используются для интегрирования правильных дробей.  

• Для практических целей достаточно выделять одно слагаемое и интегрировать его по кусочкам.  

• Различие между алгебраическими и трансцендентными элементами важно для построения полей разложения.  

• Поле k содержится в поле L, и k является подполем L.  

• Подполе L, порожденное элементом c, обозначается как kc.  

• Определение кц в квадратных скобках.  

• Поле эль является к алгеброй, что позволяет подставлять элементы поля эль в многочлены.  

• Любой многочлен с коэффициентами из эль можно рассматривать как многочлен с коэффициентами из к.  

• Возможны две альтернативы: кц конечномерно или изоморфно полю или кольцу многочленов.  

• В первом случае кц совпадает с кц в квадратных скобках, во втором случае кц изоморфно кольцу многочленов.  

• Элемент ц называется алгебраическим, если размерность кц конечна.  

• Элемент ц называется трансцендентным, если размерность кц бесконечна.  

• Гомоморфизм эволюции сопоставляет многочлену значение в точке ц.  

• Ядро гомоморфизма является идеалом в к от икс.  

• Если идеал простой, то он порождается неприводимым многочленом.  

• Многочлен, порождающий идеал, называется минимальным многочленом элемента ц.  

• Если многочлен с корнем ц не существует, то гомоморфизм эволюции является вложением.  

• Доказана альтернатива для кц.  

• Элементы эль можно брать в качестве независимых переменных, если они трансцендентны.  

• В следующий раз будут рассмотрены теоремы Эрмита и Линдемана.