Комплексные числа | Операции над комплексными числами | Формула Эйлера | Формула Муавра

• Изучение вещественных чисел.  

• Операции сложения, вычитания, умножения и деления.  

• Расширение множества натуральных чисел до целых, рациональных и иррациональных.  

• Определение комплексных чисел.  

• Алгебраическая форма комплексного числа: z = x + iy, где x, y - действительные числа, i - мнимая единица.  

• Примеры комплексных чисел: 3 + 2i, 8.  

• Координатная плоскость для представления комплексных чисел.  

• Точка на плоскости интерпретируется как комплексное число.  

• Вектор, соединяющий точку с началом координат, определяет модуль и аргумент комплексного числа.  

• Модуль комплексного числа: r = √(x² + y²).  

• Аргумент комплексного числа: φ = arctg(y/x).  

• Примеры преобразования из алгебраической формы в тригонометрическую.  

• Примеры вещественных и чисто мнимых комплексных чисел.  

• Упражнения для записи комплексных чисел в тригонометрической форме.  

• Преобразование комплексного числа с отрицательным модулем.  

• Тригонометрическая форма комплексного числа.  

• Преобразование комплексного числа с отрицательным модулем.  

• Косинус и синус комплексного числа можно записать в тригонометрической форме.  

• Знак минус можно убрать, переписав синус под знак косинуса.  

• Модуль комплексного числа равен 2, а аргумент равен -2π/3.  

• Комплексное число можно интерпретировать как длину 2 и угол -2π/3.  

• Аргумент комплексного числа может быть любым в пределах 2π.  

• Сложение комплексных чисел в алгебраической форме: сложить их вещественные и мнимые части.  

• Геометрическая интерпретация: сложить векторы, соответствующие комплексным числам.  

• Вычитание комплексных чисел: противоположность числа минус.  

• Геометрическая интерпретация: построить вектор, противоположный вычитаемому числу.  

• Умножение комплексных чисел: раскрыть скобки и сгруппировать вещественные и мнимые части.  

• Пример: 3-2i умножить на 1+i.  

• Деление комплексных чисел: умножить числитель на сопряженное число и знаменатель на сопряженное число.  

• Пример: 3-2i разделить на 1+i.  

• Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме: перемножить модули и мнимые части.  

• Пример: 3-2i умножить на 1+i.  

• Построение произведения комплексных чисел: построить вектор, длина которого равна произведению модулей, а аргумент - сумме аргументов.  

• Деление комплексных чисел в тригонометрической форме: разделить модуль числителя на модуль знаменателя и умножить на косинус разности аргументов.  

• Деление в алгебраической и тригонометрической форме.  

• В знаменателе разность квадратов косинуса и синуса.  

• Перемножение числителей и сбор вещественной и мнимой частей.  

• Модуль частного равен частному модулям, аргумент равен разности аргументов.  

• Геометрическая интерпретация деления комплексных чисел.  

• Возведение в квадрат и куб по формулам бинома Ньютона.  

• Формула Эйлера: e^(iφ) = cosφ + i sinφ.  

• Показательная форма комплексного числа.  

• Возведение в степень по формуле Муавра.  

• Пример возведения единицы в 25-ю степень.  

• Комплексные числа интерпретируются точками плоскости.  

• Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части.  

• Формулы косинуса и синуса через формулу Эйлера.  

• Основные формулы тригонометрии через равенство действительных и мнимых частей.