Косухин О.Н.-Математический анализ.Часть 1.Семинары- 25.Признаки Дирихле и Абеля для сходимости ряда

• Видео обсуждает два признака сходимости рядов: Абеля и Дирихле.  

• Оба признака формулируются в терминах двух последовательностей: ант и бнт.  

• Пример задачи, где нужно исследовать на сходимость ряд, зависящий от параметра.  

• Для решения задачи используется признак Дирихле.  

• Метод оценки суммы ряда с помощью произведения синусов и косинусов.  

• Преобразование суммы ряда в разность косинусов и полусумму.  

• А большое энто равно синус м пополам икс умножить на синус м плюс один пополам икс поделить на синус икс пополам.  

• Этот ряд сходится по признаку Дирихле, так как ант ограничена и бнт монотонно стремится к нулю.  

• Рассматривается признак Лейбница для исследования сходимости ряда.  

• Если последовательность частичных сумм ряда монотонно стремится к нулю, то ряд сходится.  

• Рассматривается признак Дирихле для исследования сходимости ряда.  

• Если ряд из модулей членов ряда сходится, то исходный ряд сходится условно.  

• Рассматривается признак Абеля для исследования сходимости ряда.  

• Если к сходящемуся ряду добавить монотонный и ограниченный множитель, то ряд также будет сходиться.  

• Решается задача с использованием признаков Лейбница, Дирихле и Абеля.  

• Показано, что ряд сходится по признаку Лейбница, а признак Абеля позволяет продолжить сходящийся ряд.  

• Видео обсуждает признаки Дирихле и Абеля, которые позволяют доказать сходимость рядов.  

• Признак Дирихле требует монотонности последовательности, а признак Абеля - ограниченности и монотонности.  

• Можно требовать монотонности начиная с какого-то номера, а не с единицы.  

• Можно требовать, чтобы последовательность была представима в виде разности двух монотонных последовательностей.  

• Последовательности с ограниченным изменением определяются как последовательности, у которых конечен супрем сумм модулей изменений членов последовательности.  

• Последовательности с ограниченным изменением можно описать как последовательности, которые можно представить в виде разности двух ограниченных и монотонно возрастающих последовательностей.  

• Пример задачи: проверка сходимости ряда с использованием признаков Дирихле и Абеля.  

• В видео обсуждается использование похожих рядов для решения задач.  

• Один из методов состоит в использовании рядов с похожими признаками сходимости.  

• Задача состоит в исследовании сходимости ряда.  

• Ряд состоит из двух слагаемых, каждое из которых сходится по признаку Дирихле.  

• Внешний ряд сходится по признаку Абеля, так как умножен на монотонную ограниченную последовательность.  

• Итоговый вывод: ряд сходится.  

• Обсуждаются признаки Дирихле-Абеля и Дирихле, которые могут быть использованы для исследования сходимости рядов.  

• Признак Дирихле-Абеля основан на использовании признаков Дирихле и Абеля, а также на разбиении ряда на слагаемые.  

• Обсуждаются задачи на исследование сходимости рядов, связанные с биномиальными коэффициентами и их свойствами.  

• Рассматриваются случаи, когда ряд сходится или расходится, а также условия, при которых ряд сходится или расходится.  

• Обсуждается возможность использования бесконечных произведений для решения задач на исследование сходимости рядов.  

• Задача на исследование сходимости ряда с использованием бесконечных произведений будет рассмотрена позже.  

• В видео обсуждается доказательство сходимости ряда с помощью идеи признака Гауса.  

• Доказательство основано на использовании неравенства для бесконечно малой величины и логарифмов.  

• В качестве домашнего задания предлагается решить задачи, связанные с последовательностью с ограниченным изменением, косинусами и признаками Абеля-Дирихле.  

• Задачи могут быть использованы для решения задач, связанных с рядами Тейлора.