✓ Аналитическая геометрия. Начало | Для студентов и школьников | #ТрушинLive​​ #046 | Борис Трушин

• Автор приветствует зрителей и объясняет, что это его первый вебинар на YouTube.  

• Вебинар будет полезен как школьникам, так и студентам, и посвящен основам аналитической геометрии.  

• Автор планирует решать задачи, которые будут понятны даже девятиклассникам.  

• Начинается с разминочных задач, которые могут быть сложны для девятиклассников.  

• Задачи касаются базисных векторов и систем координат.  

• Автор просит задавать вопросы в чате, но обещает ответить на них в конце вебинара.  

• Пример задачи: параллелограмм с серединой одной стороны и точкой пересечения диагоналей.  

• Нужно ввести два базисных вектора и выразить через них другие вектора.  

• Автор объясняет, что базисные векторы образуют базис, через который можно выразить любой другой вектор.  

• Автор начинает решать задачу, объясняя, как выразить вектор БД через базисные векторы.  

• Вектор БД выражается как сумма векторов АД и БА.  

• Затем автор переходит к выражению вектора СО через базисные векторы.  

• Вектор СО выражается как половина вектора ЦА.  

• Автор объясняет, как представить вектор ЦА через базисные векторы.  

• В итоге вектор СО выражается как минус одна вторая вектора АД минус одна вторая вектора БА.  

• Автор завершает решение задачи, объясняя, что все векторы выражены через базисные векторы.  

• Это простые разминочные задачи, которые помогут вспомнить основы работы с векторами.  

• Далее будут задачи, похожие на школьные, но решаемые аналитически.  

• Рассматривается трапеция с основаниями, относящимися как 3:2.  

• Нужно выразить стороны трапеции через базисные векторы.  

• Базис на плоскости состоит из двух непараллельных векторов, и любой вектор можно представить как линейную комбинацию этих векторов.  

• Основания трапеции выражаются через базисные векторы.  

• Рассматриваются вектора AC и BD, которые будут базисными.  

• Стороны трапеции выражаются через эти векторы.  

• Обсуждается, какие стороны проще выразить через базисные векторы.  

• Основания выражаются проще, так как они параллельны.  

• Вектор AE выражается через AC и BD.  

• Вектор BC выражается через AE и BD.  

• Вектор AB выражается через AC и BD.  

• Вектор CD выражается через BC и BD.  

• Проверяется, что сумма всех четырех векторов равна нулю.  

• Задача из сборника задач для студентов первого курса МФТИ.  

• Рассматривается правильный шестиугольник с вершинами A, B, C, D, E, F.  

• Нужно выразить векторы через базисные векторы AB и AF.  

• Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников.  

• Вектор BC выражается через AB и AC.  

• Вектор CD выражается через BC и AD.  

• Векторы выражаются через базисные векторы с коэффициентами 1 и 1.  

• Вектор CD равен нулю.  

• Вектор DE равен минус единице.  

• Вектор EF равен минус единице минус минус единице.  

• Вектор EF равен минус единице минус минус единице.  

• Вектор BD равен два минус а плюс а.  

• Вектор CF равен минус два.  

• Вектор CF равен минус два.  

• Вектор CE равен минус а плюс б.  

• Векторы в шестиугольнике выражаются просто.  

• В задачах с векторами важно правильно записывать порядок векторов.  

• В мерном пространстве базис состоит из z-векторов.  

• Вопросы, не связанные с задачами, обсуждаются в конце.  

• В треугольнике ABC M - середина AC.  

• Координаты векторов: AB = 3x, BC = 5y, AC = 2x, CM = 3y.  

• Базис: AL и CK.  

• Вектор BM раскладывается по базису.  

• Вводятся два новых вектора для выражения AL, CK и BM.  

• Медиана BM равна половине суммы соседних векторов.  

• Медиана BM равна одной второй суммы соседних векторов.  

• BM выражается через векторы A и B.  

• Вспоминается геометрия из пятого-шестого класса для понимания выражения BM через A и B.  

• Обсуждение выражения вектора через координаты.  

• Пример с умножением на 5/8 и сложением.  

• Проверка арифметики и получение окончательного выражения.  

• Проверка правильности вычислений.  

• Умножение на 2/5 и сложение для избавления от переменной "б".  

• Получение окончательного выражения для вектора.  

• Проверка правильности вычислений.  

• Умножение на -4/3 и сложение для получения окончательного выражения.  

• Проверка арифметики и корректировка.  

• Проверка правильности вычислений.  

• Умножение на 2/5 и сложение для получения окончательного выражения.  

• Проверка арифметики и корректировка.  

• Проверка правильности вычислений.  

• Умножение на 5/12 и сложение для получения окончательного выражения.  

• Проверка арифметики и корректировка.  

• Проверка правильности вычислений.  

• Обсуждение модулей сторон и их значений.  

• Проверка коэффициентов и их значений.  

• Проверка правильности вычислений.  

• Обсуждение коэффициентов и их значений.  

• Проверка сложения векторов и их значений.  

• Введение задачи о точке пересечения медиан треугольника.  

• Обсуждение системы координат и начала отсчета.  

• Пример с векторами и их координатами.  

• Обсуждение координат векторов и их сложения.  

• Пример с векторами и их координатами.  

• Решение задачи для тех, кто знает школьную программу.  

• Обсуждение точки пересечения медиан и её координат.  

• Пример с векторами и их координатами.  

• Решение задачи без использования школьной программы.  

• Обсуждение начала координат и вершин треугольника.  

• Пример с медианами и их пересечением.  

• Решение задачи с использованием аналитической геометрии.  

• Обсуждение координат точки пересечения медиан.  

• Пример с  

• Рассматриваются точки в трехмерном пространстве.  

• Доказывается, что две медианы пересекаются в точке, делящей их в отношении 2:3.  

• Это означает, что все медианы пересекаются в одной точке.  

• Доказательство применимо к любым двум медианам.  

• Все три медианы пересекаются в одной точке.  

• Это помогает понять, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1.  

• Базис на плоскости состоит из пары непараллельных векторов.  

• Любой вектор можно выразить через эти два вектора.  

• Система координат включает фиксированную точку и базис.  

• Рассматривается задача о пересечении медиан треугольников.  

• Доказывается, что точки пересечения медиан совпадают.  

• Используется доказательство о пересечении медиан в треугольнике.  

• Векторы используются для выражения координат точек.  

• Доказывается, что точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1.  

• Это позволяет доказать, что точки пересечения медиан совпадают.  

• Аналитическая геометрия изучает кривые второго порядка.  

• Включает изучение эллипсов, гипербол и парабол.  

• Аналитическая геометрия похожа на школьную геометрию, но с более сложными теоремами.  

• Вершина параллелограмма соединена с точкой К на БЦ.  

• Рассматривается отношение отрезков, которые пересекаются в точке М.  

• Обсуждается, как бы решали задачу в школе, используя теоремы.  

• Рассматривается задача о том, как относятся отрезки в параллелограмме.  

• Предлагается использовать векторы для выражения отношений.  

• Векторы выражаются через другие векторы, что позволяет найти их отношения.  

• Решается система уравнений для нахождения коэффициентов.  

• Находятся значения альфа и бета, что позволяет определить отношения отрезков.  

• Проверяется правильность решения.  

• Доказывается, что если отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, равен полусумме этих сторон, то это трапеция.  

• Рассматриваются два способа выражения средней линии трапеции.  

• Доказывается, что средняя линия параллельна и равна полусумме сторон трапеции.  

• Обсуждается, что равенство для средней линии трапеции верно для любого четырехугольника.  

• Доказывается, что если сумма двух векторов имеет такую же длину, как сумма их длин, то эти векторы параллельны и направлены в одну сторону.  

• Делается вывод, что четырехугольник с такими свойствами является трапецией.  

• Если длина отрезка равна полусумме длин двух других отрезков, то это обязательно трапеция.  

• Это доказано с использованием простых фактов и векторов.  

• Решение задачи применимо в школьной геометрии и может быть полезно в жизни.  

• Три точки всегда лежат в одной плоскости.  

• Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся в отношении 3:1.  

• Высоты тетраэдра не обязаны пересекаться в одной точке.  

• Точка пересечения медиан тетраэдра находится в точке, радиус-вектор которой равен одной четверти суммы длин всех вершин.  

• Это доказывает, что все медианы пересекаются в одной точке.  

• Доказательство применимо для всех медиан тетраэдра.  

• Точка, являющаяся серединой скрещивающихся ребер, находится в точке пересечения медиан.  

• Это доказано с использованием векторов и серединных перпендикуляров.  

• Решение применимо для всех скрещивающихся ребер.  

• Задача о нахождении отрезка, параллельного другому отрезку, решается с использованием векторов.  

• Вводится базис для упрощения вычислений.  

• Вектор, параллельный другому отрезку, выражается через координаты точек.  

• Обсуждение условий параллельности двух векторов.  

• Исправление опечатки в записи.  

• Объяснение, что один вектор можно получить из другого умножением на число k.  

• Векторы должны быть пропорциональны.  

• Выражение одного вектора через другой.  

• Определение коэффициента пропорциональности.  

• Исправление ошибки в выражении.  

• Объяснение, почему вектор EF параллелен BC.  

• Уточнение, что EF в два раза короче BC.  

• Объяснение, что такое вектор BC1.  

• Выражение вектора EF через BC1.  

• Определение коэффициента пропорциональности для параллельности.  

• Подведение итогов решения задачи.  

• Советы по решению задач и пониманию условий.  

• Обсуждение перерывов на занятиях и стримах.  

• Объяснение задачи с призмой.  

• Определение точки N на диагонали AC1.  

• Геометрическое решение задачи.  

• Переход к векторному решению задачи.  

• Выражение векторов через базисные векторы.  

• Определение координат точки N.