5. Возведение матрицы в степень. Транспонирование матрицы. Примеры

• Рассматриваются операции над матрицами: возведение в целую положительную степень и транспонирование.  

• Будут решены примеры.  

• Операция определена только для квадратных матриц.  

• Матрица в степени k равна произведению самой себя k раз.  

• a^0 = E, a^1 = a.  

• Требуется найти значение многочлена p(x) = x^2 - 2x + 3 от матрицы x = 2,1,0,1.  

• Подставляем матрицу x в многочлен.  

• Число 3 переводится в матрицу, умножая на E.  

• Возводим матрицу x = 2,1,0,1 в квадрат.  

• Умножаем матрицу на себя дважды.  

• Результат: 4,3,0,1.  

• Подставляем x^2 в многочлен.  

• Умножаем матрицу на -2 и добавляем 3.  

• Вычисляем элементы матрицы: 3,1,0,2.  

• Определение: транспонированная матрица получается заменой строк на столбцы.  

• Пример: транспонирование матрицы A = 2,1,3,0,4,-2,-3,5,6.  

• Транспонирование транспонированной матрицы равно исходной.  

• Транспонирование произведения числа и матрицы: сначала транспонируем матрицу, затем умножаем на число.  

• Транспонирование суммы матриц: транспонируем каждую матрицу отдельно и складываем результаты.  

• Транспонирование произведения матриц: транспонируем каждый множитель отдельно и умножаем.  

• Требуется вычислить матрицу x = A^2 + B * C^T.  

• Находим A^2: 4,4,0,4.  

• Находим произведение B * C: -3,2, -1,1.  

• Транспонируем B * C: -3,2, -1,1.  

• Вычисляем x: 1,3,2,5.  

• На следующих занятиях продолжим изучение матриц.