Линейная зависимость строк матрицы. Теорема о базисном миноре. Способы вычисления ранга матрицы.

• Ранг матрицы - это порядок наибольшего определителя, не равного нулю  

• Миноры порядка больше, чем ранг, равны нулю  

• Если ранг равен n, то существуют миноры порядка n, не равные нулю  

• Миноры порядка больше, чем n, равны нулю  

• Ранг не меняется при элементарных преобразованиях строк или столбцов  

• Линейная комбинация строк - это умножение строк на действительные числа и сложение  

• Линейная комбинация столбцов - это умножение столбцов на действительные числа и сложение  

• Если существует нетривиальная линейная комбинация строк, равная нулю, то строки линейно зависимы  

• Если не существует нетривиальной линейной комбинации строк, равная нулю, то строки линейно независимы  

• Если определитель не меняется при добавлении к элементам строки линейной комбинации других строк, то строки линейно зависимы  

• Вводится понятие линейной зависимости строк и столбцов матрицы.  

• Доказывается критерий линейной зависимости строк и столбцов.  

• Базисный минор - минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы и не равен нулю.  

• Базисные строки и столбцы матрицы линейно независимы.  

• Любая строка или столбец, не входящая в базисный минор, равна линейной комбинации базисных строк и столбцов.  

• Обсуждается теорема о базисном миноре и следствие из нее для квадратных матриц.  

• Доказывается, что если матрица квадратная и ее определитель равен нулю, то ее строки или столбцы линейно зависимы.  

• Первый способ - метод окаймляющих миноров, который сокращает количество переборов.  

• Второй способ - использование определителей.  

• Метод основан на том, что если для некоторого минора матрицы все его окаймляющие равны нулю, то этот минор является базисным.  

• Если ранг минора равен рангу матрицы, то ранг окаймляющих миноров также равен рангу матрицы.  

• С помощью элементарных преобразований строк можно привести матрицу к ступенчатой форме, у которой ранг равен количеству ненулевых строк.  

• Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк, так как все миноры больших порядков будут равны нулю.  

• Рассмотрим матрицу размеров 5x5 и вычислим ее ранг двумя способами: методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований строк.  

• В обоих случаях ранг матрицы равен 4.  

• Автор объясняет, как найти окаймляющие миноры и базисный минор для матрицы.  

• Обсуждаются свойства определителей и способы их вычисления.  

• Автор приводит пример вычисления определителей четвертого порядка и находит базисный минор.  

• Обсуждаются элементарные преобразования строк и их влияние на определитель матрицы.  

• Автор объясняет, что ранг матрицы равен трем, и базисный минор равен произведению диагональных элементов.  

• Обсуждается, что столбцы, вошедшие в базисный минор, являются линейно независимыми.