Базис и матрица перехода. Координаты вектора в разных базисах.

• Базис — это набор векторов или столбцов, которые могут быть использованы для представления других векторов или столбцов.  

• В пространстве векторов базис состоит из трех векторов, которые могут быть представлены как сумма с коэффициентами.  

• В пространстве столбцов размерности два базис состоит из двух столбцов, которые также могут быть представлены как сумма с коэффициентами.  

• Для однозначного разложения векторов или столбцов в базис, необходимо, чтобы векторы или столбцы были линейно независимыми.  

• Линейная независимость означает, что никакие два вектора или столбца не могут быть представлены как линейная комбинация других векторов или столбцов с ненулевыми коэффициентами.  

• Рекомендуется посмотреть видео о линейных пространствах для лучшего понимания.  

• В дальнейшем будут рассматриваться геометрические векторы, столбцы и многочлены.  

• Все эти объекты можно рассматривать как векторы в линейных пространствах.  

• Линейная зависимость — это характеристика набора векторов, многочленов или матриц.  

• Если можно найти линейную комбинацию векторов, равную нулю, то набор векторов линейно зависим.  

• Если линейная комбинация с ненулевыми коэффициентами не существует, то набор векторов линейно независим.  

• Пример: набор из трех векторов может быть линейно зависимым, если существует линейная комбинация с ненулевым коэффициентом, равная нулю.  

• В этом случае, набор векторов считается линейно зависимым.  

• Если такой комбинации не существует, то набор векторов считается линейно независимым.  

• Рассматриваются два вектора: a = [0, 1] и b = [1, 0].  

• Вопрос: можно ли подобрать коэффициенты α и β так, чтобы линейная комбинация была равна нулю?  

• Ответ: нет, так как линейная комбинация будет равна нулю только при α = 0 и β = 0.  

• Система векторов a и b линейно независима.  

• Рассматриваются три вектора: a = [1, 0], b = [5, 3], c = [-1, 5].  

• Вопрос: можно ли найти коэффициенты, чтобы линейная комбинация была равна нулю?  

• Ответ: да, коэффициенты α = 5, β = 3, γ = -1.  

• Система векторов линейно зависима.  

• Система векторов может быть представлена матрицей:  

• Если ранг матрицы меньше количества переменных, система имеет нетривиальные решения.  

• Пример: система с матрицей [1, 0, 5, 0, 1, 3] имеет ранг 2 и количество переменных 3, что означает наличие нетривиальных решений.  

• Базис — минимальный набор линейно независимых векторов, по которым можно разложить все остальные векторы в пространстве.  

• Пример: система e1, e2 является базисом в пространстве столбцов 2x2, так как эти векторы линейно независимы.  

• Система e1, e2, e3 не является базисом, так как векторы избыточны.  

• Тема: матрица перехода от одного базиса к другому.  

• Пример: два базиса на плоскости: стандартный и базис самолета.  

• Задача: найти соотношение между координатами точки относительно аэродрома и самолета.  

• Пример: вектор a имеет координаты a1, a2 в исходном базисе и a1', a2' в новом базисе.  

• Введение в матрицы перехода между базисами.  

• Матрица перехода записывается как столбцы координат векторов нового базиса в старом.  

• Пример матрицы перехода от старого базиса e1, e2 к новому базису e1', e2'.  

• Векторы нового базиса можно записать как транспонированную матрицу перехода на векторы старого базиса.  

• Пример: координаты вектора в новом базисе равны обратной матрице перехода, умноженной на координаты вектора в старом базисе.  

• Пример с векторами e1', e2', e3' в новом базисе и их координатами в старом базисе.  

• Доказательство линейной независимости векторов через ранг матрицы перехода.  

• Нахождение определителя матрицы перехода и проверка его на не вырожденность.  

• Вывод: векторы e1', e2', e3' образуют базис в пространстве.  

• Пример с вектором x в старом базисе и его координатами в новом базисе.  

• Нахождение обратной матрицы перехода и вычисление координат вектора x в новом базисе.  

• Альтернативный метод проверки линейной независимости векторов без использования матрицы перехода.  

• Пример с линейной комбинацией векторов и проверка их линейной независимости.  

• Рассматриваются три вектора и их линейная независимость.  

• Вопрос: могут ли все коэффициенты быть ненулевыми?  

• Скалярное произведение векторов показывает, что некоторые коэффициенты должны быть равны нулю.  

• Скалярное произведение векторов с самим собой равно единице.  

• Система уравнений показывает, что некоторые коэффициенты равны нулю.  

• Решение: все коэффициенты должны быть равны нулю, что доказывает линейную независимость векторов.  

• Координаты вектора в новом базисе можно найти, разложив его по новым векторам.  

• Пример: координаты вектора икс в новом базисе.  

• Решение системы уравнений методом обратной матрицы.  

• Четыре вектора в трехмерном пространстве не могут быть линейно независимыми.  

• Пример: четыре вектора, которые линейно зависимы.  

• Задача: найти максимальное количество линейно независимых векторов.  

• Записываем координаты векторов и находим ранг матрицы.  

• Метод Гаусса для нахождения линейно независимых векторов.  

• Пример: векторы икс один и икс два образуют базис.  

• Перевод системы многочленов в векторы.  

• Пример: система многочленов линейно независима.  

• Доказательство линейной независимости через производные.  

• Вторая производная также должна быть равна нулю.  

• Вывод: все коэффициенты должны быть равны нулю, что доказывает линейную независимость многочленов.  

• Рассматриваются многочлены: два гамма плюс дельта на шесть тэ плюс два.  

• Доказывается, что при всех значениях тэ эти многочлены должны быть равны нулю.  

• Вывод: многочлены линейно независимы.  

• Составляется система уравнений: альфа плюс бета плюс гамма плюс дельта равно нулю.  

• Решается система, и показано, что все коэффициенты равны нулю.  

• Вывод: многочлены е1, е2, е3 и е4 линейно независимы.  

• Можно использовать матрицы для доказательства линейной независимости.  

• Пример с матрицами не приводится, так как это требует знания о жк базисе.  

• Обсуждается, что для многочленов нужно знать базис и его линейную независимость.  

• Пример с многочленами: икс в квадрате минус икс плюс два.  

• Базис: е1, е2, е3 со штрихами, где е1 - единичка, е2 - икс минус один, е3 - икс в квадрате минус один.  

• Два способа доказательства линейной независимости многочленов.  

• Первый способ: найти координаты векторов в новом базисе.  

• Второй способ: записать систему уравнений и решить её.  

• Раскрываем многочлен и сравниваем коэффициенты.  

• Находим коэффициенты перед t: 2, -1, -1.  

• Решаем систему уравнений для нахождения x1, x2, x3.  

• Используем формулу Тейлора для разложения многочлена.  

• Находим коэффициенты a0, a1, a2, a3.  

• Проверяем, что коэффициенты совпадают с предыдущими.  

• Используем канонический базис для разложения многочлена.  

• Находим координаты многочлена в новом базисе.  

• Проверяем, что матрица перехода не вырождена.  

• Обсуждаем важность понимания связи между различными методами решения задач.  

• Упоминание о важности знания канонического базиса и его применения.  

• Подчеркивается, что знание различных методов помогает лучше понимать математику.  

• Для перехода от одного базиса к другому нужна матрица перехода.  

• Обратная матрица перехода от базиса б маленького к базису б большому умножается на матрицу перехода от б большого к б маленькому.  

• Матрица перехода от исходного базиса к первому базису состоит из первых трех векторов.  

• Матрица перехода от исходного базиса к базису б штрих состоит из координат этих векторов.  

• Обратная матрица находится и умножается на матрицу перехода.  

• Можно разложить первый вектор нового базиса по старому базису, используя систему уравнений.  

• Раскладываем первый вектор нового базиса по старому базису, используя систему уравнений.  

• Решаем систему уравнений для нахождения координат векторов нового базиса в старом.  

• Матрица перехода от базиса бэ к базису бэ штрих будет состоять из координат векторов нового базиса в старом базисе.  

• Первый способ решения через матрицу перехода.  

• Второй способ через системы уравнений по определению.