Приближённые вычисления: абсолютная и относительная погрешность

• Павел Бердов, репетитор по математике, начинает урок о приближённых вычислениях.  

• Объяснение, что в реальной жизни числа делятся на точные и приближённые.  

• Пример точных величин: счёт предметов, например, голубей на остановке.  

• Натуральные числа изначально использовались для измерения количества предметов.  

• Пример приближённой величины: температура тела, измеренная градусником.  

• Точность измерений в реальной жизни часто неопределима.  

• Вопрос о переходе от точных величин к более удобным для использования.  

• Введение понятия приближения для упрощения вычислений.  

• Три способа приближения: с недостатком, с избытком и с округлением.  

• Отсечение всех цифр после определённого разряда.  

• Пример: 38,23571 → 38,2.  

• Увеличение последней цифры на единицу после отсечения всех ненужных цифр.  

• Пример: 38,23571 → 38,24.  

• Определение типа приближения в зависимости от следующей цифры после округления.  

• Если следующая цифра больше или равна пяти, выполняется приближение с избытком.  

• Если меньше пяти, выполняется приближение с недостатком.  

• Округление до одного знака после запятой: 38,23571 → 38,2.  

• Округление до двух знаков после запятой: 38,23571 → 38,24.  

• Обсуждение округления отрицательных чисел.  

• Пример: -35,75 → -35,7.  

• Округление всегда выполняется по модулю числа, без учёта знака «минус».  

• Если число отрицательное, знак «минус» добавляется в конце после округления.  

• Пример: 35,75 округляется до 35,8, затем добавляется знак «минус».  

• В контрольных работах и экзаменах отрицательные числа гарантированно округляются по указанному правилу.  

• Конфликтов при округлении отрицательных чисел не возникает.  

• Пример с измерением температуры: врач округляет значение до десятых.  

• Абсолютная погрешность — это разница между реальным и округлённым значением.  

• Абсолютная погрешность — это модуль разности между исходным и приближённым числом.  

• Обозначение абсолютной погрешности: Δa.  

• Расчёт абсолютной погрешности для различных приближений: 2,7 ≈ 3, 5,789 ≈ 5,79, 0,83 ≈ 0,8, 32 ≈ 30.  

• Примеры показывают, что абсолютная погрешность может быть как маленькой, так и большой.  

• Одна и та же абсолютная погрешность может означать разное качество приближения в зависимости от исходной величины.  

• Пример с измерением комнаты: разница в 1 см не важна для большого значения, но критична для маленького.  

• Относительная погрешность помогает оценить, насколько сильно погрешность влияет на результат.  

• Второе главное определение урока: относительная погрешность приближения.  

• Операция приближения преобразует число в приближённое значение.  

• Относительная погрешность рассчитывается как отношение абсолютной погрешности к модулю исходного числа.  

• Пример: при измерении 424 см получено 423 см, относительная погрешность составляет менее 1%.  

• Абсолютная погрешность равна 1, относительная погрешность — 0,025%, что незначительно.  

• Для более точной оценки можно использовать дробь 1/423, которая меньше 1/400.  

• Относительная погрешность в 10% может быть существенной, например, при измерении длины детали.  

• Пример с штрафом иллюстрирует, как даже небольшая погрешность может значительно повлиять на результат.  

• Оценка относительной погрешности — это число, которое заведомо больше реальной погрешности.  

• Это позволяет оценить погрешность без точного вычисления.  

• Абсолютная погрешность приближения: $\delta a = a - a_c$.  

• Относительная погрешность: $\delta a / |a|$.  

• Оценка абсолютной погрешности: $h > \delta a$.  

• Оценка относительной погрешности: $h_r > \delta a / |a|$.  

• Пример: определение абсолютной и относительной погрешности приближения 1.27 ≈ 1.3.  

• Абсолютная погрешность: $\delta a = 0.03$.  

• Оценка относительной погрешности без калькулятора: $h_r = 0.03$.  

• Оценки погрешностей полезны, когда точное значение числа неизвестно.  

• Пример с корнем из двух показывает, что даже при наличии калькулятора точность может быть недостаточной.  

• Округление может давать одинаковые результаты для разных чисел.  

• Последняя цифра после округления считается ненадёжной, так как её значение может быть результатом округления.  

• Это подчёркивает важность учёта погрешностей при приближённых вычислениях.  

• Абсолютная погрешность округления оценивается сверху по формуле: $\delta_a \leq \frac{1}{2} \cdot 10^{-k}$.  

• Пример: при округлении до первого знака после запятой $k = 1$, погрешность не превышает $0.05$.  

• Если после округления остаётся один знак после запятой, погрешность не превосходит $0.05$.  

• Формула применима для любых исходных чисел, включая корни и дроби.  

• При округлении до трёх знаков после запятой погрешность не превышает $0.0005$.  

• Реальное число находится в пределах от 5.735 - 0.0005 до 5.735 + 0.0005.  

• Округление до тысяч означает, что погрешность не превышает $0.5$.  

• Пример: зарплата 63 тысячи рублей округляется до тысяч, реальная зарплата будет в пределах от 62.5 до 63.5 тысяч рублей.  

• Для грубой оценки погрешности можно использовать формулу $\delta_a = 10^{-k}$ при приближении до k знаков после запятой.  

• Округление числа до двух знаков после запятой.  

• Абсолютная погрешность оценивается как 0,01.  

• Реальное число лежит в пределах от 0,13 до 0,15.  

• Приближение числа до двух знаков после запятой.  

• Исходное число отличается от 5,72 не более чем на 0,01.  

• Пример с числом 1273, округлённым до 1300.  

• Абсолютная погрешность не более 100.  

• Относительная погрешность рассчитывается как отношение абсолютной погрешности к модулю исходного числа.  

• Замена неудобных чисел на более удобные для расчёта.  

• Использование свойства неравенства для упрощения расчётов.  

• Отбрасывание нулей слева и справа для получения значащей части числа.  

• Важность понимания количества значащих цифр.  

• Верхняя оценка относительной погрешности равна 0,5 × 10^(-n-1), где n — количество значащих цифр.  

• Относительная погрешность при округлении оценивается сверху числом, равным 10^(-n-1), где n — количество значащих цифр.  

• Пример: при округлении с двумя знаками после запятой относительная погрешность не превышает 0.05.  

• Повторены формулы для абсолютной и относительной погрешности.  

• Упоминается разница в оценке погрешности при округлении и приближении.  

• Приведены примеры приближений: 71 523 → 71 000, 0.568 → 0.6, 0.00328 → 0.003.  

• Объяснено, как отличить округление от приближения с недостатком или избытком.  

• Приближение с недостатком: 71 523 → 71 000.  

• Количество знаков после запятой: k = -3, количество значащих цифр: n = 2.  

• Абсолютная погрешность: не более 1000.  

• Относительная погрешность: не более 0.1.  

• Округление: 0.568 → 0.6.  

• Количество знаков после запятой: k = 1, количество значащих цифр: n = 1.  

• Абсолютная погрешность: не более 0.05.  

• Относительная погрешность: не более 0.05.  

• Подчёркнута грубая природа округления, даже при небольшой относительной ошибке.  

• Пример с зарплатой иллюстрирует последствия грубого округления.  

• Рассматривается пример с числом 0,00328 и его округлением до 0,003.  

• Оценивается абсолютная погрешность: она не превосходит 0,0005.  

• Относительная погрешность оценивается как 0,001.  

• Объясняется, что относительная погрешность при округлении с одним значащим цифрой оценивается как 0,001.  

• Подчёркивается, что это грубая оценка, но формулы полезны при большом количестве значащих цифр.  

• Приближается число 7259 до 8000.  

• Абсолютная погрешность оценивается как 1000, так как это приближение с избытком, а не округление.  

• Относительная погрешность оценивается как 1.  

• Подчёркивается, что приближение с избытком является грубым.  

• Рекомендация изучить тему для понимания лабораторных работ в химии и физике.  

• Анонс следующего урока о погрешностях сумм и разностей.  

• Павел Бердов прощается с аудиторией.