Приближённые вычисления: абсолютная и относительная погрешность

• Павел Бердов, репетитор по математике, рассказывает о приближенных вычислениях.  

• Все числа делятся на точные и приближенные.  

• Точные числа используются для счета предметов, например, голубей на остановке.  

• Точные величины измеряются натуральными числами.  

• Приближенные величины, такие как температура, не могут быть точно измерены.  

• Пример: температура 38.2°C может быть приближенной, но не точной.  

• Приближение позволяет упростить числа для удобства использования.  

• Существуют три способа приближения: с недостатком, с избытком и с округлением.  

• Приближение с недостатком отсекает все цифры после определенного разряда.  

• Приближение с избытком увеличивает последнюю цифру числа на единицу.  

• Пример: 38.23571 округляется до 38.3.  

• Если последняя цифра 9, число округляется до 39.0.  

• Приближение с округлением зависит от следующей цифры после округления.  

• Если следующая цифра больше или равна 5, округляем с избытком.  

• Если меньше 5, округляем с недостатком.  

• Пример: округляем температуру до одного знака после запятой.  

• Пример: округляем до двух знаков после запятой.  

• Важно понимать, как округлять отрицательные числа.  

• Округление всегда выполняется по модулю числа.  

• Если число отрицательное, знак минус добавляется в конце.  

• В контрольных работах и экзаменах конфликтов не возникает.  

• Пример с измерением температуры: округление до десятых.  

• Разница между реальным и округленным значением называется абсолютной погрешностью.  

• Абсолютная погрешность равна модулю разности между реальным и округленным значением.  

• Примеры округлений: 2.7 ≈ 3, 5.789 ≈ 5.79, 0.83 ≈ 0.8, 32 ≈ 30.  

• Абсолютная погрешность может быть как маленькой, так и большой.  

• Одна и та же абсолютная погрешность может означать разное качество приближения в зависимости от исходной величины.  

• Пример с измерением длины комнаты: разница в один сантиметр незначительна.  

• Пример с заказом мебели: разница в один сантиметр может быть критичной.  

• Для оценки влияния погрешности на результат введено понятие относительной погрешности.  

• Приближение числа обозначается как дельта а относительная.  

• Дельта а относительная равна модулю разности дельта а и исходного числа а, деленному на модуль исходного числа а.  

• Пример: измерение длины 424 см, фактическое значение 423 см.  

• Дельта а относительная равна 1/423, что составляет 0.025%.  

• Это значение не имеет существенного значения, если не учитывать высокую стоимость объекта.  

• Пример с измерением длины детали: 10 см вместо 11 см, относительная погрешность 10%.  

• Оценка относительной погрешности используется для приблизительных расчетов.  

• Пример: 1/400 вместо 1/423 для оценки относительной погрешности.  

• Оценка помогает понять порядок величины погрешности.  

• Абсолютная погрешность приближения: дельта а = а - а с чертой.  

• Относительная погрешность: дельта а относительная = дельта а абсолютная / модуль а.  

• Оценка абсолютной и относительной погрешности: аш абсолютная и аш относительная.  

• Пример: определение абсолютной и относительной погрешности приближения 1.27 ≈ 1.30.  

• Абсолютная погрешность: дельта а = 0.03.  

• Относительная погрешность: оценка аш относительная = 0.03.  

• Оценки погрешностей необходимы, когда точное значение а неизвестно.  

• Пример: сравнение корня из двух и 1.4.  

• Важно понимать порядок абсолютной и относительной погрешности.  

• Округление чисел может привести к одинаковым результатам для разных чисел.  

• Последняя цифра после округления может быть ненадежной.  

• Погрешности приближения помогают оценить точность результатов.  

• Округление выполняется до k-го знака после запятой.  

• Абсолютная погрешность округления оценивается сверху.  

• Формула: дельта-а меньше или равно одной второй умножить на десять в степени минус к.  

• Округление до первого знака после запятой.  

• Дельта-а не превзойдет одну вторую умножить на десять в минус первой степени.  

• Формула работает для любого исходного числа.  

• Округление до трех знаков после запятой.  

• Дельта-а не более одной второй умножить на десять в степени минус три минус к.  

• Реальное число лежит в пределах от исходного числа минус дельта-а до исходного числа плюс дельта-а.  

• Округление до целых чисел, например, зарплата 63 тысячи рублей.  

• Реальная зарплата будет в пределах от 63 тысяч плюс одна вторая на десять в степени минус минус три до 63 тысяч минус одна вторая на десять в степени минус минус три.  

• Формула для оценки погрешности при округлении.  

• При приближении до k-го знака после запятой погрешность оценивается как десять в степени минус к.  

• Пример: округление числа до двух знаков после запятой.  

• Абсолютная погрешность оценивается как 0.01.  

• Исходное число лежит в пределах от 0.13 до 0.15.  

• Пример: округление числа до двух знаков после запятой.  

• Абсолютная погрешность не превышает 0.01.  

• Исходное число отличается от округленного не более чем на 0.01.  

• Пример: округление числа до двух знаков после запятой.  

• Абсолютная погрешность не превышает 100.  

• Исходное число отличается от округленного не более чем на 100.  

• Пример: округление числа до двух знаков после запятой.  

• Абсолютная погрешность не превышает 100.  

• Исходное число отличается от округленного не более чем на 100.  

• Пример: замена величин для удобства расчета.  

• Абсолютная погрешность меньше 30.  

• Исходное число делится на 1000 и 3.  

• Пример: отбрасывание нулей слева и справа.  

• Значащая часть числа - это часть без нулей.  

• Количество значащих цифр влияет на оценку относительной погрешности.  

• Теорема: верхняя оценка относительной погрешности равна 1/2 * 10^-n-1, где n - количество значащих цифр.  

• Относительная погрешность при округлении оценивается сверху.  

• Формула для оценки: 10 в степени минус n минус 1.  

• Пример: при округлении до двух знаков после запятой, погрешность не превышает 0.05.  

• Примеры приближений и округлений.  

• Формулы для абсолютной и относительной погрешности.  

• Оценка погрешности при округлении и приближении.  

• Примеры приближений: 71523, 0.568, 0.00328.  

• Различие между округлением и приближением.  

• Примеры с недостатком и избытком.  

• Оценка абсолютной и относительной погрешности.  

• Пример: 71523 заменено на 71000, приближение с недостатком.  

• Оценка погрешности: абсолютная погрешность не превышает 1000, относительная погрешность не более 0.1.  

• Пример: 0.568 заменено на 0.6, округление.  

• Оценка погрешности: абсолютная погрешность не более 0.05, относительная погрешность не более 0.05.  

• Грубое округление может сильно исказить результат.  

• Рассматривается пример с округлением числа до трех знаков после запятой.  

• Оценивается абсолютная погрешность: одна вторая умножить на десять в степени минус три.  

• Относительная погрешность: одна вторая умножить на десять в степени минус один минус один, что равно одной второй.  

• Пример с приближением числа 7259 до 8000.  

• Оценивается абсолютная погрешность: десять в степени минус три.  

• Относительная погрешность: десять в степени минус один минус один, что равно единице.  

• Приближение с избытком является грубым.  

• Тема доступна ученикам 7-9 классов и используется в лабораторных работах по химии и физике.  

• В следующем уроке будет рассмотрено, как оценивать погрешности сумм и разностей.  

• Видео завершается, автор прощается и желает спокойной ночи.