21.04.2021 Лекция 17. Признаки Даламбера, Куммера, Раабе и Гаусса

• Обсуждение важности правильного использования радикального признака Коши.  

• Напоминание о предыдущем параграфе и радикальном признаке Коши.  

• Доказательство теоремы о радикальном признаке Коши.  

• Объяснение, что если предел корня степени n из общего члена ряда больше единицы, ряд расходится.  

• Пример с рядом Дирихле, который не сходится, но признак Коши дает единицу.  

• Важные замечания о радикальном признаке Коши.  

• Объяснение, что радикальный признак Коши сравнивает ряд с геометрической прогрессией.  

• Пример с рядом, где общий член ограничен сверху геометрической прогрессией.  

• Радикальный признак Коши не позволяет исследовать ряды типа 1/n^a.  

• Обсуждение, что если предел корня степени n из общего члена ряда больше единицы, предел общего члена не равен нулю.  

• Пример с последовательностью, где предел корня степени n больше единицы.  

• Замечание о том, что предел общего члена ряда не равен нулю.  

• Объяснение, когда удобно использовать радикальный признак Коши.  

• Введение признака Даламбера для рядов с общим членом больше нуля.  

• Доказательство, что если предел отношения следующего члена к предыдущему больше единицы, ряд расходится.  

• Объяснение, что если предел отношения больше единицы, ряд расходится.  

• Пример с возрастающей последовательностью, где предел отношения больше единицы.  

• Доказательство, что предел общего члена не равен нулю, что нарушает необходимые условия сходимости.  

• Объяснение, что если предел отношения меньше единицы, ряд сходится.  

• Пример с числом, большим эль, но меньше единицы.  

• Доказательство, что для всех n больше некоторого момента, отношение следующего члена к предыдущему меньше эль плюс один пополам.  

• Объяснение, что по индукции для всех n больше некоторого момента, следующий член меньше предыдущего.  

• Подведение итогов о сходимости ряда при эль меньше единицы.  

• Рассматривается ряд с общим членом, который сходится, если знаменатель меньше единицы.  

• Ряд сходится, так как является геометрической прогрессией.  

• Ряд сходится, если его остаток сходится.  

• Признак Даламбера показывает, что ряд расходится, если предел отношения членов ряда равен единице.  

• Пример ряда, который сходится, несмотря на признак Даламбера.  

• Признак Даламбера сравнивает ряд с геометрической прогрессией.  

• Признак Коши сильнее признака Даламбера.  

• Если признак Даламбера говорит о пределе, то признак Коши также подтвердит это.  

• Признак Коши может исследовать ряды, которые не поддаются признаку Даламбера.  

• Рассматривается ряд, который сходится по признаку Коши, но не по признаку Даламбера.  

• Ряд состоит из четных и нечетных членов, которые сходятся к разным пределам.  

• Признак Коши показывает, что ряд сходится, но признак Даламбера не подтверждает это.  

• Обсуждение необходимости изучения признаков.  

• Признаки рассматриваются как рецепты для решения задач.  

• Планируется изучение нескольких признаков перед переходом к более интересным темам.  

• Введение в лемму о среднем арифметическом.  

• Обсуждение сходимости среднего арифметического и его связи с предельной точкой.  

• Упоминание теоремы Штольца и её применения.  

• Формулировка теоремы о признаках Даламбера и Коши.  

• Объяснение, что если предел отношения членов ряда равен эль, то предел корня энной степени из этих членов также равен эль.  

• Пример, показывающий, что признак Коши сильнее признака Даламбера.  

• Рассмотрение натурального логарифма отношения членов ряда.  

• Объяснение, что предел логарифма равен эль, даже если он равен плюс бесконечности.  

• Применение телескопа для вычисления среднего арифметического.  

• Вычисление среднего арифметического и его сходимости.  

• Упрощение выражения и доказательство теоремы.  

• Переход к следующему параграфу и схеме Куммера.  

• Введение в схему Куммера для создания новых признаков.  

• Рассмотрение ряда с общим членом ока и ряда с общим членом бк.  

• Условие, что ряд с общим членом бк расходится.  

• Доказательство общего признака Куммера.  

• Рассмотрение ряда с общим членом ока и его сходимости.  

• Условие, при котором ряд сходится или расходится в зависимости от значения эль.  

• Обсуждение признака Даламбера и его связи с признаком Куммера.  

• Рассмотрение ряда из единиц и его расходимости.  

• Введение понятия предела отношения членов ряда.  

• Объяснение, что ряд сходится, если предел отношения членов ряда больше единицы.  

• Рассмотрение случая, когда предел равен нулю.  

• Переход к доказательству признака Куммера.  

• Рассмотрение случая, когда предел больше нуля.  

• Установление существования номера n0, при котором ряд сходится.  

• Применение телескопа для доказательства сходимости ряда.  

• Рассмотрение случая, когда предел меньше нуля.  

• Установление возрастания последовательности членов ряда.  

• Применение остатка расходящегося ряда для доказательства расходимости исходного ряда.  

• Подведение итогов по признакам Даламбера, Куммера и их применению.  

• Введение интегрального признака и его использование.  

• Переход к признакам Раабе, Бертрана и Гаусса.  

• Если эль больше единицы, ряд с общим членом а сходится.  

• Если эль меньше единицы, ряд с общим членом а расходится.  

• Если эль равно единице, ряд с общим членом а не определен.  

• Признак Кумера сравнивает ряд с геометрической прогрессией.  

• Если эль больше нуля, ряд сходится.  

• Если эль меньше нуля, ряд расходится.  

• Признак Бертрана улучшает признак Даламбера.  

• Ряды ведут себя как интегралы от монотонных функций.  

• Логарифмические ряды могут быть сравнимы с интегралами.  

• Применение теоремы Лагранжа для исследования ряда.  

• Оценка общего члена ряда с помощью теоремы Лагранжа.  

• Доказательство расходимости ряда с помощью теоремы Лагранжа.  

• Подставляем выражение в признаки Кумера.  

• Получаем выражение с натуральными логарифмами.  

• Проверяем, что выражение расходится.  

• Исправление выражения для получения правильного результата.  

• Добавление необходимых слагаемых.  

• Проверка правильности равенства.  

• Разность логарифмов стремится к нулю.  

• Признак Бертрана: перенос единицы влево и ссылка на признак Кумера.  

• Вопросы и уточнения.  

• Общий член ряда представлен в виде лямбда плюс мю делить на н плюс тт н делить на н квадрат.  

• Лямбда больше единицы: ряд сходится по признаку Даламбера.  

• Лямбда меньше единицы: ряд расходится по признаку Даламбера.  

• Лямбда равно единице: ответ зависит от мю.  

• Если мю больше единицы: ряд сходится по признаку Раабе.  

• Если мю меньше единицы: ряд расходится по признаку Раабе.  

• Перечисление изученных признаков: Даламбер, Каши, Раабе, Бертран, Гаусс.  

• Предложение сделать перерыв и не сочинять новые признаки.