Интеграл РИМАНА (20.03.2024)

• В примере с корнями, автор объясняет, что разложить корень из икс в квадрате минус икс плюс один в произведение двух корней не получится.  

• Вместо этого, он предлагает заменить корень на т плюс минус икс, что позволяет разложить знаменатель на произведение двух.  

• Автор решает пример, используя замену и производную.  

• Он находит, что икс равняется т квадрат минус т плюс один, деленный на два т минус один в квадрате.  

• Затем он находит производную и решает интеграл, получая ответ в виде двух логарифмов модуля икс плюс корень из икс в квадрате минус икс плюс один.  

• Автор обсуждает, что можно заменить корень из икс квадрат минус икс плюс один на т, икс на единицу минус т квадрат, деленный на два т плюс один.  

• Он объясняет, что такая замена может быть полезна, но требует большего количества вычислений.  

• Автор объясняет, как решать дробно-рациональные функции, используя метод Остроградского.  

• Он объясняет, что знаменатель дроби можно упростить, если вынести в максимальной степени корни из числителя и знаменателя.  

• Затем он объясняет, как найти коэффициенты для составления системы уравнений, используя производные.  

• Автор объясняет, что количество неизвестных в системе уравнений равно количеству уравнений.  

• Он приводит пример, где количество неизвестных равно двум, а количество уравнений - трем.  

• Автор объясняет, что логарифм одного равен единице, и приводит пример, где логарифм одного равен логарифму у в четвертой степени.  

• Он также объясняет, что производная от логарифма одного равна единице, и приводит пример, где производная от логарифма одного равна логарифму у в третьей степени.  

• Автор объясняет, что для каждой степени п он может составить уравнение, и если а меньше минус одного, то он может составить уравнение для икс в квадрате.  

• Он также отмечает, что количество уравнений всегда на единицу больше, чем степень.  

• В примере, который он приводит, у него есть большое количество уравнений, равное количеству неизвестных.  

• Автор решает пример, используя метод неопределенных коэффициентов, и объясняет, что он свел систему семь на семь в систему четыре на четыре.  

• Он также отмечает, что в этом примере можно заметить "халяву", так как есть ощущение, что можно решить пример быстрее.  

• Автор объясняет, что метод Остроградского имеет преимущество перед методом неопределенных коэффициентов, так как он позволяет решить систему семь на семь, которая обычно проще.  

• Он также отмечает, что в методе Остроградского обычно система сильно проще, чем в методе неопределенных коэффициентов.  

• Автор решает систему уравнений, используя свойства доски и свойства умножения.  

• Он находит, что система резко ускоряется, когда каждое новое уравнение находит новую неизвестную.  

• В итоге, он находит, что система сводится к системе четыре на четыре.  

• Автор находит, что система не хочет составляться, так как каждый раз новая буква находится.  

• Он находит, что а большое равно нулю, б большое равно минус одной второй, с большое равно нулю.  

• В итоге, он находит, что исходное разложение равно минус икс в квадрате плюс одна вторая делить на икс в квадрате на икс в квадрате плюс один, минус два интеграла один делить на икс минус три на икс в квадрате плюс один.  

• Автор завершает решение, находя, что неопределенные интегралы закончены.  

• Он напоминает, что в следующую среду будет последний раз показывать домашнее задание, и просит всех, кто еще не показал, сделать это.  

• Обсуждение определенного интеграла и его связи с площадью.  

• Рассказ о том, как определенный интеграл связан с площадью и как он может быть использован для вычисления площади, объема и центра масс.  

• Объяснение, что интеграл Римана - это не самое сильное определение, но на первом курсе сойдет.  

• Историческое обоснование определения интеграла Римана и его связь с понятием площади.  

• Обсуждение определения верхней грани последовательности и ее точной верхней грани.  

• Объяснение, что после определения верхней грани последовательности, можно использовать обозначение для ее обозначения.  

• Вводится понятие предела последовательности, где для любого эпсилон находится номер, после которого для всех номеров выполняется условие.  

• Определяется предел функции, где для любого эпсилон находится номер, после которого для всех номеров выполняется условие.  

• Вводится понятие предела по фильтру, где для любого номера автоматически задается элемент последовательности и проверяется условие для этого элемента.  

• Вводится понятие разбиения промежутка, где точки ставятся строго между а и б.  

• Вводится понятие прямоугольника, где верхняя планка берется в левой точке.  

• Обсуждение компьютерной математики, которая включает в себя рисование динамических картинок и сравнение скорости приближения к трапеции.  

• Метод левых прямоугольников, метод правых прямоугольников и метод средних прямоугольников обсуждаются.  

• Метод средних прямоугольников работает в разы лучше, чем метод левых и правых прямоугольников.  

• Обсуждение определения площади с использованием метода трапеций и прямоугольников.  

• Метод трапеций на порядок быстрее, чем метод прямоугольников.  

• Рим предложил использовать оснащение, которое определяет высоту прямоугольника на каждом промежутке.  

• В видео обсуждается определение интеграла Римана, которое требует, чтобы разбиение было настоящим и чтобы точки разбиения были равномерно распределены.  

• Это определение требует, чтобы максимальное расстояние между соседними точками было равно мелкости разбиения.  

• В видео объясняется, что предел при стремлении к бесконечности не является правильным определением для интеграла Римана.  

• Вместо этого, правильное определение требует, чтобы мелкость разбиения стремилась к нулю.  

• Это условие заставляет измельчать прямоугольники, что приводит к более точному вычислению площади ступенчатой фигуры.