Матрица перехода от одного базиса к другому

• Матрица перехода описывает взаимосвязь между базисами в линейном пространстве.  

• Базис в пространстве может быть выбран неоднозначно.  

• Матрица перехода позволяет описать зависимость координат векторов в разных базисах.  

• Базис в пространстве определяется неоднозначно.  

• В геометрическом пространстве базисом могут быть любые два неколлинеарных вектора.  

• Матрица перехода связывает координаты векторов в разных базисах.  

• Рассматриваются два базиса: старый базис Б и новый базис Б'.  

• Векторы базиса раскладываются по старому базису единственным образом.  

• Коэффициенты в разложении образуют квадратную матрицу перехода.  

• Матрица перехода не вырождена, так как векторы нового базиса линейно независимы.  

• Матрица перехода связывает базисы через умножение на нее.  

• Обратная матрица перехода выражает старый базис через новый.  

• Матрица перехода может быть использована для перехода между несколькими базисами.  

• Произведение матриц перехода ассоциативно.  

• Координаты вектора в новом базисе можно найти через матрицу перехода и координаты в старом базисе.  

• Задача: найти координаты вектора в новом базисе.  

• Рассматривается пространство R2 и канонический базис.  

• Матрица перехода вычисляется и применяется для нахождения координат вектора в новом базисе.  

• Рассматривается пространство R3 и два базиса: B и B'.  

• Базис B состоит из векторов e1, e2, e3, где e1 = 1,2,2, e2 = -1,1,-1, e3 = 1,0,1.  

• Базис B' состоит из векторов e1', e2', e3', где e1' = -1,1,2, e2' = 2,0,1, e3' = 1,-2,-1.  

• Задача: найти матрицу перехода от B к B'.  

• В задаче присутствует третий базис B0, называемый каноническим.  

• Координаты векторов в каноническом базисе записываются под столбиком.  

• Матрица перехода от B0 к B и от B0 к B' записывается в виде координат векторов в каноническом базисе.  

• Матрица перехода от B к B' вычисляется через произведение матриц перехода от B0 к B и от B0 к B'.  

• Матрица перехода от B0 к B' равна обратной матрице от B0 к B.  

• Матрица перехода от B к B' получается умножением обратной матрицы от B0 к B на матрицу перехода от B0 к B'.  

• Можно решить задачу, зная только определение матрицы перехода.  

• Векторы базиса B' раскладываются по базису B.  

• Метод Гаусса используется для нахождения коэффициентов разложения.  

• Векторы e1', e2', e3' раскладываются по базису B.  

• Коэффициенты разложения вычисляются методом Гаусса.  

• Матрица системы уравнений преобразуется в единичную матрицу.  

• Матрица координат вектора B и матрица координат вектора B' преобразуются методом Гаусса.  

• Полученная матрица является матрицей перехода от B к B'.  

• Задача решается двумя способами: через матрицы перехода и через координаты векторов.