Формула Тейлора, остаток в формах Пеано, Лагранжа и Коши | 14 | Константин Правдин | НОЦМ ИТМО

• Обсуждение предыдущих лекций по дифференцированию и исследованию функций на экстремумы.  

• Упоминание французских теорем и правил Лопиталя.  

• Призыв к изучению информации небольшими порциями.  

• Введение в формулу Тейлора для приближения функций многочленами.  

• Применение формулы для разложения элементарных функций.  

• Использование формулы для вычисления пределов.  

• Рассуждение о приближении функции многочленами.  

• Пример с касательной и её улучшением.  

• Добавление новых слагаемых для улучшения приближения.  

• Демонстрация приближения функции многочленами на примере синуса и экспоненты.  

• Увеличение степени многочлена для улучшения приближения.  

• Индуктивное предположение о расширении области приближения.  

• Постановка задачи нахождения многочлена, удовлетворяющего условиям в точке.  

• Условия для значения многочлена и его производных в точке.  

• Поиск многочлена в виде суммы коэффициентов и степеней.  

• Вычисление значения многочлена и его производных в точке.  

• Пример с первой и второй производными.  

• Подстановка значений и вычисление производных.  

• Взяли первую производную, навесив знак производной.  

• Подставили точку икс ноликовая, все скобки с икс минус икс ноликовая зануляются.  

• Остается только коэффициент ц один.  

• Вторая производная в точке икс ноликовая равна два ц два.  

• Третья производная равна шесть ц три.  

• Четвертая производная равна факториал четырех с четыре.  

• Функция дифференцируема, можно посчитать производные в точке икс ноликовая.  

• Значение функции в точке икс ноликовая равно ц ноликовой.  

• Производная порядка н делится на факториал н.  

• Многочлен Тейлора приближает функцию многочленом.  

• Формула: значение функции в точке икс ноликовая плюс производные, деленные на факториалы, умноженные на икс минус икс ноликовая в степени.  

• Многочлен Тейлора порядка н функции в точке икс ноликовая.  

• В случае икс ноликовая равного нулю, многочлен Тейлора называется многочленом Маклорена.  

• График многочлена Маклорена для синуса и экспоненты.  

• Формула Тейлора с остатком р: точное равенство функции многочлену с поправкой на остаток р.  

• Остаток р - это погрешность при приближении функции многочленом.  

• Остаточный член в формуле Тейлора - это бесконечно малая добавка.  

• Теорема: остаточный член в форме Пиано - это бесконечно малая относительно икс минус икс ноликовая в степени н.  

• Доказать, что разность функции и многочлена Тейлора бесконечно мала относительно икс минус икс ноликовая в степени н.  

• Функция дифференцируема в некоторой окрестности точки икс ноликовая, что позволяет использовать формулу Каши.  

• Производная функции в точке равна разности производных соответствующих функций.  

• Многочлен Тейлора должен совпадать с функцией в точке и её производными до энного порядка.  

• Производная катового порядка функции в точке равна нулю.  

• Использование теоремы Коши для вычисления производных.  

• Разность функций на отрезке от икс ноликова до икс.  

• Применение теоремы Коши для вычисления производных в точке кси один.  

• Повторное применение теоремы Коши для вычисления производных.  

• Получение производной н минус первого порядка в точке кси с номером н минус один.  

• Переход к пределу при икс стремящемся к икс ноликову.  

• Предел функции равен нулю, так как все производные до энного порядка в точке икс ноликова равны нулю.  

• Многочлен Тейлора является лучшим приближением функции.  

• Остаточный член в формуле Тейлора мал по сравнению с многочленом.  

• Доказательство единственности многочлена Тейлора.  

• Условие, что многочлен должен удовлетворять условию и остаток должен быть бесконечно малым.  

• Единственность коэффициентов многочлена через предел функции при икс стремящемся к икс ноликову.  

• Скобки зануляются, оставляя только коэффициенты.  

• Для освобождения последнего коэффициента, все слагаемые переносятся влево и делятся на скобку.  

• При пределе, стремящемся к нулю, коэффициенты находятся единственным образом.  

• Все коэффициенты многочлена Тейлора находятся единственным образом.  

• Многочлен Тейлора для функции, дифференцируемой в точке, единственен.  

• Коэффициенты находятся через производные, деленные на факториал.  

• Многочлен Тейлора найден, но важно знать точность приближения.  

• Для приближенных вычислений нужна структура остаточного члена.  

• Предлагается использовать формы Лагранжа и Каши для оценки погрешности.  

• Обозначается отрезок между точками икс и икс новикова.  

• Функция должна быть дифференцируемой и иметь производную в интервале.  

• Для любой функции найдется точка, где остаточный член можно представить в определенном виде.  

• Рассматривается вспомогательная функция фш, определенная на отрезке.  

• Многочлен Тейлора строится в разных точках и сравнивается с функцией.  

• Разница между функцией и многочленом в фиксированной точке икс нарастает при движении точки.  

• Функция f от x минус a является многочленом Тейлора.  

• Включает производные до n-го порядка, деленные на факториалы.  

• Функция f дифференцируема в интервале и.  

• Производная f от x равна нулю.  

• Производная от t равна f штрих от t.  

• Производные высших порядков зависят от t и x-t.  

• Применение теоремы Коши для функции f.  

• Разность между f и многочленом Тейлора в точке x.  

• Остаточный член в форме Лагранжа и Коши.  

• Построение многочлена Тейлора и его остаточного члена.  

• Остаточный член можно записать в форме Лагранжа или Коши.  

• В следующей лекции будет исследоваться график функции через производные и многочлен Тейлора.