Teach-In | Тимашёв Д.А. - Алгебра. Часть 4. Лекции - 15. Группы Ли и алгебры Ли

• Линейная группа Ли - это подгруппа в группе невырожденных матриц над полем вещественных или комплексных чисел, которая является подмногообразием гладким, дифференцируемым, в пространстве всех квадратных матриц.  

• Определение основано на понятии дифференцируемого многообразия, которое задается системой уравнений с условием на ранг матрицы Якоби.  

• На примере многомерного пространства и многообразия в нем, иллюстрируется, как координаты точки на многообразии однозначно выражаются через другие координаты.  

• Если минор порядка m в точке икс-ноль отличен от нуля, то ранг матрицы Якоби равен m в этой точке и в некоторой окрестности.  

• Вместо проверки условия на ранг в окрестности, достаточно проверить его в одной точке, но это не упрощает проверку, так как неизвестно, насколько мала эта окрестность.  

• В случае групп Ли, упрощение проверки происходит, но это будет рассмотрено позже.  

• В курсе рассматриваются только линейные группы Ли, которые являются частным случаем общего понятия группы Ли.  

• Линейная группа Ли - это группа невыраженных матриц, которая задается системой уравнений.  

• Аддитивная группа поля К, взятая n раз, является линейной группой Ли.  

• Мультипликативная группа поля К, взятая n раз, также является линейной группой Ли.  

• Если у нас есть две группы Ли, их прямое произведение также наделяется естественной структурой группы Ли.  

• Уравнения, которые задают матрицы такого вида, заключаются в том, что все координаты вне диагональных блоков равны нулю, а координаты в первом диагональном блоке удовлетворяют уравнениям, выделяющим группу Ж, а координаты на втором диагональном блоке - уравнениям, выделяющим группу Аш.  

• В видео обсуждается понятие групп Ли и их свойства.  

• Утверждается, что размерность прямого произведения групп Ли равна сумме размерностей этих групп.  

• Доказывается, что если подгруппа в группе невыраженных матриц является многообразием в окрестности одной точки, то она является многообразием в окрестности любой другой точки.  

• Доказательство основано на применении отображения левого сдвига на элемент группы и его свойствах.  

• Объясняется идея доказательства на примере группы Ли в пространстве матриц.  

• Утверждается, что если группа хорошо себя ведет в окрестности одной точки, то она будет хорошо себя вести и в окрестности другой точки.  

• В лекции обсуждается, как проверить, что подгруппа в группе матриц является группой ли.  

• Для этого достаточно проверить, что ранг матрицы Якоби системы функций, задающей многообразие в окрестности точки, равен числу уравнений.  

• Касательное пространство к многообразию в точке - это пространство решений однородной системы линейных уравнений, где матрица коэффициентов - это матрица Якоби в этой точке.  

• Это геометрический смысл пространства решений.  

• Дифференциал функции в точке - это линейная функция на пространстве векторов многомерного пространства.  

• Он записывается как частная производная функции по координатам в точке.  

• В видео обсуждается понятие дифференциала координат в многомерном пространстве.  

• Дифференциалы координат - это линейные функции на пространстве векторов, которые просто являются координатами векторов в этом пространстве.  

• В видео рассматривается группа Ли слен над полем k, состоящая из квадратных матриц с определителем равным единице.  

• Доказывается, что эта группа является группой Ли, и выводится, что ее касательное пространство в точке е равно n-квадрату минус одномерное пространство.  

• Это касательное пространство играет важную роль в теории групп Ли.  

• Рассматривается группа ортогональных матриц над полем действительных или комплексных чисел.  

• Уравнение, задающее ортогональную группу, выглядит как произведение транспонированной матрицы на саму себя.  

• Дифференцирование матричного уравнения приводит к системе линейных уравнений с матрицей Якоби.  

• Пространство решений однородной системы уравнений - это пространство коста-симметричных матриц.  

• Группа унитарных матриц - это матрицы, которые обратно своей эрмитово-сопряженной матрице.  

• Пространство решений однородной системы уравнений - это пространство косо-эрмитовых матриц.  

• Унитарная группа является вещественной группой, хотя она является подгруппой в группе комплексных невырожденных матриц.