Лекция 6 | Группы и теория гомотопий | Роман Михайлов | Лекториум

• Обсуждение формулы Ву, связывающей гомотопические группы двумерной сферы с теоретико-групповыми структурами.  

• Введение в теорию гомотопии и гомотопическую алгебру.  

• Понятие модельной категории и локализованных категорий по слабым эквивалентностям.  

• Гомотопические категории как теория гомотопий.  

• Применение теории гомотопий к топологическим пространствам и симплициальным алгебрам.  

• Введение конусов отображений и надстроек.  

• Повторение формулы Ву и её усложнение.  

• Введение нормальных подгрупп и их пересечений.  

• Получение группы из аморфной эн плюс одномерной гомотопической группы двумерной сферы.  

• Введение нормальных подгрупп в свободной группе от двух порождающих.  

• Пересечение нормальных подгрупп и его гомотопическая природа.  

• Пример с букетом двумерных сфер и его гомотопическими группами.  

• Формула Хилтона-Милнера для гомотопических групп букета двумерных сфер.  

• Прямая сумма гомотопических групп и функция Мёбиуса.  

• Применение формулы для вычисления гомотопических групп сфер любой размерности.  

• Введение нижнего центрального ряда свободной группы ранга н.  

• Свободные абелевы группы и их ранг.  

• Процесс Холла и базисы Холла для свободных абелевых групп.  

• Пересечение нормальных подгрупп всегда лежит в нижнем центральном ряду.  

• Это следует из того, что нормальные подгруппы порождены непересекающимися множествами.  

• Пересечение равно симметрическому коммутанту, что является стандартной теоремой теории групп.  

• Рассматривается профакторизация структуры по нижнему центральному ряду.  

• Пересечение не лежит в плюс первом члене нижнего центрального ряда.  

• Вопрос о том, как описать такую структуру, остается открытым.  

• Структура изоморфна гамма-н атф два по модулю гамма-н плюс один в два.  

• При н равном двум и четырем, структура имеет периодичность четыре.  

• Это связано с безкручением гомоопической группы букета двух двумерных сфер.  

• Гомотопические группы сфер практически всегда конечны и имеют свободную часть.  

• В размерностях 4n-1 и 2n-1 они имеют периодичность четыре.  

• Это связано с теоремой о структурной теореме.  

• Рассматриваются пространства Мура, у которых гомоопические группы в размерности n равны а.  

• В случае свободных абелевых групп, гомотопический тип пространства Мура является функтором.  

• Пространства Мура зависят от выбора базиса и не всегда функториальны.  

• Пространства Мура для свободных абелевых групп конечного ранга являются функторами.  

• Рассматриваются букеты двумерных сфер и их гомологии.  

• В гомологиях возникают сложности, связанные с функториальностью и выбором базиса.  

• Теория групп и гомоопическая топология соприкасаются, что приводит к новым фактам.  

• Примеры таких соприкосновений включают делители нуля в групповых кольцах и формулы Ву.  

• Применение многомерной теории гомотопии позволяет извлекать теоретико-групповые результаты.  

• Вопрос о существовании делителей нуля в целочисленном групповом кольце.  

• Пример с группой, имеющей кручение, где делители нуля очевидны.  

• Рассмотрение более сложных примеров с использованием исчисления Фокса.  

• Пример с группой кос на четырех нитях, где нет делителей нуля.  

• Использование всех соотношений группы для сокращения элементов.  

• Пример показывает, что сокращение возможно без использования примитивных решений.  

• Гипотеза Капанского о делителях нуля в группах кос.  

• Проблема доказательства отсутствия делителей нуля для конкретных групп.  

• Отсутствие методов для доказательства отсутствия делителей нуля в группах без кручения.  

• Рассматривается последовательность, связывающая модуль соотношений с пи-два стандартного комплекса.  

• Группа задана конечным числом порождающих и соотношений.  

• Строится резольвента на дзет, используя отображение аргументации.  

• Ядро отображения накрывается свободным модулем ранга н.  

• Модуль соотношений накрывается свободным модулем.  

• Пи-два стандартного комплекса рассматривается как модуль.  

• Рассматривается действие фундаментальной группы на высших гомоопических группах.  

• Действие не точное, что приводит к делителям нуля в групповом кольце.  

• Координаты вложений элементов пи-два равны нулю в групповом кольце.  

• Якобиан состоит из производных фокса соотношений по порождающим.  

• Композиция двух стрелок равна нулю, что приводит к делителям нуля.  

• Точность отображения требует доказательства.  

• Рассматривается группа кос на четырех нитях и её пи-два.  

• Пи-два циклично, что приводит к резольвене для группового кольца.  

• Некоторые производные фокса не зависят от букв, что делает ядро отображения нетривиальным.  

• Матрица из производных фокса имеет ядро, что приводит к сложным соотношениям.  

• Эти соотношения комбинаторно нетривиальны и требуют много усилий для доказательства.  

• Топология помогает в понимании этих соотношений.  

• Рассматривается элемент из пи-два и его представитель.  

• Умножение на матрицу производных фокса приводит к сложным комбинаторным соотношениям.  

• Вопрос о том, как использовать подобные игры для решения проблемы делителей нуля, остается открытым.  

• Рассматривается матрица производных Фокса и представление, не являющееся асферичным.  

• Обсуждается, что такое пи-два и как оно связано с соотношениями между соотношениями.  

• Пи-два лежит в ядре, что означает, что сумма произведений производных Фокса равна нулю.  

• Рассматривается ситуация, когда производные Фокса имеют общий делитель.  

• Это приводит к делителю нуля в групповом кольце.  

• Проблема существования общих делителей у производных Фокса связана с проблемой делителя нуля.  

• Изучаются представления групп с двумя или тремя соотношениями, где производные Фокса имеют общие делители.  

• Это может привести к контрпримерам гипотезы Капланского.  

• Проблема в том, что пока нет очевидных кандидатов для контрпримеров.  

• Рассматривается комбинирование топологии и ручной корректировки для построения контрпримеров.  

• Примеры строятся на основе топологии, но затем корректируются для получения сложных примеров.  

• Это позволяет получить примеры, которые трудно уловить комбинаторно.  

• Рассматриваются два слова в свободной группе и их производные Фокса.  

• Если производные Фокса имеют общий делитель, это приводит к делителю нуля в групповом кольце.  

• Задача состоит в поиске примеров, где производные Фокса не сводятся к общему делителю.  

• Обсуждается, что если пи-два нетривиально, то действие группы на нем точно.  

• Доказывается, что если действие группы неточно, то это приводит к делителю нуля в групповом кольце.  

• Метод гомологических сдвигов используется для получения противоречий и доказательства точности действия группы.  

• Метод гомологических сдвигов и лемки из теории групповых колец позволяют доказать факт о точности действия группы.  

• Этот результат играет роль в гипотезе сферичности Уайтхеда и трансценитном ряде.  

• Теория гомотопических групп позволяет изучать свойства групп через их гомотопические группы.  

• Геометрическая теория групп рассматривает группы как метрические пространства.  

• В гомологической теории групп изучаются свойства групп через резольвенты над кольцами.  

• В сильно некоммутативном мире методы общей гомологической алгебры не применимы.  

• Для изучения групп используются симплициальные группы, которые строятся из свободных групп.  

• Гомотопические группы симплициальной группы тривиальны при неравном нулю.  

• Симплициальные группы позволяют судить о свойствах исходной группы через их гомотопические группы.  

• Применение функторов к симплициальным группам дает производные функторы.  

• Примеры включают комплектологию и специальные модули.  

• Гомологии группы можно получить через производные функторы.  

• Нельпотентные гомологии и мультипликаторы рассматриваются как производные функторы.  

• Про нельпотентное пополнение и его производные функторы играют важную роль.  

• Стабильные группы сфер связаны с производными функторами от про нельпотентного пополнения.  

• Функторы от зет и стабильные группы сфер изучаются через отображение симметрической бесконечной группы.  

• Эти отображения сложны и требуют сложных вычислений.  

• Теория Воеводского позволяет считать стабильные группы сфер в размерностях, делящихся на четыре.  

• К-функторы от зет сложнее, чем стабильные группы сфер.  

• Общие формулы и результаты Воеводского помогают в расчетах.  

• Спектаралки могут сходиться к неабелевым группам.  

• Неабелевы группы возникают при склеивании абелевых клеток.  

• Это требует новых подходов и методов для изучения таких групп.  

• Коммутант группы связан с производными функторами стабильнизации.  

• Производные функторы коммутанта сдвигаются на единицу.  

• Внешний квадрат группы является естественным фактором