Метод интегрирования по частям. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

• Лекция о методах интегрирования и интегрировании рациональных функций.  

• Объяснение формулы интегрирования по частям и ее применение в различных случаях.  

• Пример 1: Интегрирование икс умножить на е в степени икс д икс.  

• Пример 2: Интегрирование произведения степенной функции на экспоненту.  

• Пример 3: Интегрирование произведения экспоненты на тригонометрическую функцию.  

• В видео объясняется, как использовать формулу интегрирования по частям для решения интегралов, содержащих функции с обратными функциями.  

• Приводится пример с интегралом от икс-квадрат косинус икс, который решается с помощью интегрирования по частям.  

• В видео рассматривается пример, где повторное интегрирование по частям приводит к первоначальному интегралу.  

• В этом случае, повторное интегрирование было неудачно, и не удалось найти выражение для искомого интеграла.  

• В конце видео автор обсуждает, как избежать ошибок при повторном интегрировании по частям.  

• В видео рассматривается пример четвертого случая интегрирования по частям, когда нужно интегрировать произведение экспоненты и тригонометрической функции.  

• За у берется косинус икс, а за д у - производная от косинуса икс.  

• Интеграл от е в степени икс косинус икс равен табличному интегралу е в степени икс.  

• В результате применения формулы, получается интеграл от е в степени икс синус икс.  

• Для дальнейшего интегрирования применяется интегрирование по частям, и в итоге получается первоначальный интеграл.  

• Первоначальный интеграл выражается через два интеграла е в степени икс косинус икс и е в степени икс на синус икс.  

• В итоге получается один интеграл плюс еще один интеграл, равный первоначальному интегралу.  

• Первоначальный интеграл вычисляется делением на два, и в итоге получается искомый интеграл.  

• В конце добавляется константа ц, которая накапливает все константы от предыдущих интегрирований.  

• Рассматриваются интегралы вида a^x + b / (x^2 + px + qx), где a не равно нулю.  

• Если a равно нулю, то интеграл сводится к табличному.  

• Если a не равно нулю, то применяется метод выделения полного квадрата.  

• Интеграл разбивается на два: первый интеграл равен a^x + b, второй интеграл равен d/x (x^2 + px + qx).  

• Квадратный трехчлен (x^2 + px + q) представляется в виде a^2 + 2ab + b^2.  

• В зависимости от знака выражения, интеграл сводится к табличным.  

• Рассматривается интеграл, содержащий квадратный трехчлен, и разбивается на два интеграла.  

• Первый интеграл равен натуральному логарифму выражения в знаменателе, а второй интеграл равен табличному интегралу.  

• Интегрируется выражение, содержащее квадратный трехчлен, с использованием схемы интегрирования.  

• Первый интеграл равен 5/2, а второй интеграл равен табличному интегралу.  

• В видео объясняется, как интегрировать рациональные функции, используя различные формулы и методы.  

• Рассматриваются случаи, когда знаменатель имеет степень, равную 2, 3 и 4.  

• Пример 1: Интеграл вида du/u^k, где k - целое число.  

• Пример 2: Интеграл вида du/u^2+a^2, где a - константа.  

• Пример 3: Интеграл вида du/u^k+a^2, где k - целое число, a - константа.  

• Рекурентная формула используется для вычисления интегралов вида du/u^k-1, где k - целое число.