Отбор корней в тригонометрических уравнениях на единичной окружности. Задание №13(б) ЕГЭ

• Отбор корней тригонометрических уравнений требует понимания их решений и периодов.  

• Корни тригонометрических уравнений часто являются целыми наборами решений.  

• Важно разбираться в периодах тригонометрических функций для правильного отбора корней.  

• Решение тригонометрического уравнения может иметь бесконечное количество корней.  

• Пример: уравнение sin x = 1/2 имеет два набора решений: π/6 + 2πn и 5π/6 + 2πn.  

• Подстановка различных целых чисел n приводит к разным углам, которые являются корнями уравнения.  

• Тригонометрические функции являются периодическими с периодом 2π.  

• Прибавление или вычитание 2π приводит к повторению значений функции.  

• Это позволяет отбирать корни, используя целые числа n.  

• Основные методы отбора корней: метод двойного неравенства и метод тригонометрической окружности.  

• Метод двойного неравенства требует внимательности и точных расчетов.  

• Метод тригонометрической окружности более популярен и требует знания тригонометрической окружности и периодичности функций.  

• Тригонометрическая окружность представляет собой винтовую лестницу.  

• Углы на окружности отсчитываются от нуля градусов.  

• Подъем по винтовой лестнице соответствует поворотам на углы 30, 90, 180 и 270 градусов.  

• Полный оборот по окружности соответствует углу 2π.  

• Совершив один полный оборот, мы перемещаемся на следующий уровень.  

• Каждая точка на следующем уровне отличается на два пи от предыдущей.  

• Винтовая лестница позволяет не только подниматься, но и спускаться.  

• Тригонометрическая окружность представляет собой спираль с бесконечным количеством уровней.  

• На нулевом уровне углы лежат в промежутке от 0 до 2 пи, на первом уровне — от 2 пи до 4 пи и так далее.  

• Спускаясь, мы оказываемся на уровнях с отрицательными углами.  

• Цель — понять, какой участок винтовой лестницы ограничивает указанный промежуток.  

• Выбираем точки, которые попадают на этот участок.  

• Пример: уравнение косинус икс равно минус корень из двух на два.  

• Используем единичную окружность для отбора корней.  

• Отмечаем границы промежутка и корни уравнения.  

• Если корень не лежит на закрашенной дуге, он не подходит.  

• Корень икс один лежит на закрашенной дуге, значит, он подходит.  

• Находим угол икс один, добавляя или вычитая углы из краев промежутка.  

• Подписываем найденную точку на окружности.  

• Корень икс один не подходит, так как не лежит на закрашенной дуге.  

• Корень икс два подходит, так как лежит на закрашенной дуге.  

• Подписываем найденный угол икс два на окружности.  

• Угол 5π/6 лежит на том же уровне, что и промежуток от π/2 до 3π/2.  

• Можно использовать винтовую лестницу для наглядности.  

• Точка 5π/6 находится между π/2 и 3π/2.  

• Между π/2 и 3π/2 лежит точка π.  

• Из точки π можно вернуться по часовой стрелке на угол π/6.  

• Итоговый угол: 5π/6.  

• Рассматривается уравнение sin x = -√3/2.  

• Два набора решений: -π/3 + 2π и -2π/3 + 2π.  

• Нужно выбрать углы из промежутка от -3π до -5π/2.  

• Угол между точками -3π и x2 равен 60 градусов.  

• Для перехода из -3π в x2 нужно прибавить угол π/3.  

• Итоговый угол: -8π/3.  

• Можно вернуться из -5π/2 по часовой стрелке на угол π/6.  

• Итоговый угол: -8π/3.  

• Оба способа приводят к одному результату.  

• В прошлых примерах всегда был один корень.  

• В этом примере может быть несколько корней.  

• Пример с уравнением cos x = -√3/2.  

• Два набора решений: 5π/6 + 2π и -5π/6 + 2π.  

• Промежуток: от π до 7π/2.  

• Алгоритм работает, но промежуток большой.  

• Полный оборот окружности и четверть круга.  

• Третья четверть окружности попадает в промежуток дважды.  

• Корни уравнения: 5π/6 + 2πx и -5π/6 + 2πx.  

• Угол из точки x1: 17π/6.  

• Угол можно получить, добавив 60 градусов к 5π/6 или вычитая 60 градусов из 3π.  

• Угол из точки x2: 7π/6 и 19π/6.  

• Две точки на окружности: 7π/6 и 19π/6.  

• Уравнение: sinx = √2/2.  

• Корни: π/4 + 2πn и 3π/4 + 2πn.  

• Уравнение: cosx = 0.  

• Корни: π/2 + π.  

• Отбор углов из промежутка: от -3π/2 до 0.  

• Точка -3π/2 выколота, точка 0 закрашена.  

• Корни: x1, x2, x3.  

• Угол из точки x2: -5π/4.  

• Точка x3: π/2 + π.  

• Верхняя точка не подходит, нижняя точка: -π/2.  

• Уравнение: tg x = -1.  

• Корни: -π/4 + π.  

• Отбор углов: от 5π/2 до 7π/2.  

• Рисуем окружность, отмечаем промежуток.  

• Отмечаем точки на окружности, соответствующие корням.  

• Находим углы, подписываем их на окружности.  

• Подписываем найденные значения на окружности.  

• Завершение тригонометрии.