Занятие 9. Модульная арифметика

• Обсуждение использования остатков отделения на числа для решения задач, где ответ может быть большим.  

• Объяснение, почему использование остатков отделения может быть быстрее и проще, чем использование комбинаторики.  

• Кольца вычетов - это множество чисел, которые остаются после деления на некоторое число.  

• Кольца вычетов имеют свойства, такие как однозначность, коллизии и согласованность операций.  

• Использование остатков отделения на каждом шаге вычислений для избежания проблем с большими числами.  

• Объяснение, как можно использовать кольца вычетов для выполнения операций сложения и умножения.  

• Кольца вычетов - это множества с двумя операциями: сложением и умножением, которые согласованы с обычными операциями сложения и умножения целых чисел.  

• Кольца вычетов используются для представления остатков при делении на число m.  

• Кольца вычетов могут быть представлены как остатки от деления на число m.  

• Кольца вычетов удовлетворяют стандартным свойствам сложения и умножения, таким как коммутативность, ассоциативность, наличие нуля и обратного элемента.  

• Кольца вычетов используются в теории групп и алгебре для представления времени и других числовых систем.  

• Кольца вычетов также применяются в криптографии для шифрования данных.  

• В кольцах вычетов существуют операции сложения, умножения и деления, которые определяются стандартными свойствами из целых чисел.  

• В кольцах можно умножать, складывать и раскрывать скобки в любом порядке, а также использовать единицы и нули.  

• Деление в кольцах вычетов вводится как умножение на обратный элемент к знаменателю.  

• Деление возможно только тогда, когда знаменатель обратим.  

• Если знаменатель не обратим, то частное не существует.  

• В числовых полях, не все элементы могут быть делителями нуля или обратимыми элементами.  

• Элемент является делителем нуля, если существует другой элемент, при умножении на который получается ноль.  

• Элемент обратим, если существует обратный элемент, который при умножении на исходный элемент дает единицу.  

• Элемент обратим тогда и только тогда, когда его наибольший общий делитель с модулем равен единице.  

• Если элемент не взаимно прост с модулем, то он является делителем нуля.  

• Если гцд элемента и модуля равен единице, то элемент обратим.  

• Если гцд не равен единице, то элемент является делителем нуля.  

• Утверждение теоремы Эйлера гласит, что если число а взаимно просто с модулем m, то число а в степени f(m) сравнимо с единицей по модулю m.  

• Это означает, что число а в степени f(m) можно возвести в степень, чтобы получить единицу.  

• В кольце все элементы делятся на делители нуля или являются обратимыми.  

• Если элемент обратим, то его можно умножить на любой элемент из кольца, чтобы получить другой обратимый элемент.  

• Доказательство теоремы Эйлера основано на умножении числа а последовательно на все элементы из кольца.  

• В результате получается, что число а в степени f(m) равно сумме всех элементов из кольца.  

• Теорема Эйлера утверждает, что если число а взаимно просто с модулем, то а в степени п равно единице по модулю.  

• Это следствие малой теоремы Ферма, которая утверждает, что а в степени п по модулю равно а в степени п минус один.  

• Возведение в степень можно реализовать рекурсивно, используя деление на два и умножение на результат.  

• Это позволяет выполнить логарифм операций и попасть в ноль за логарифм времени.  

• Функция бин пау может быть использована для вычисления обратного элемента по модулю.  

• Если модуль простой, то можно использовать функцию функцийлера для вычисления обратного элемента.  

• В случае, если а равно единице, можно сразу вернуть единицу, что позволяет оптимизировать вычисления.  

• Обсуждается задача вычисления а в степени б по модулю м.  

• Объясняется, что каждая группа из фиат-ашек дает единицу, поэтому можно "скушать" их, чтобы получить остаток от п в степени ц по модулю фиат.  

• Рассматриваются учебные задачи сложения и вычитания чисел по модулю.  

• Обсуждается реализация класса для модульной арифметики в Python.  

• Демонстрируется работа с отрицательными числами и взятием остатка.  

• В видео обсуждаются различные операции с числами, такие как сложение, вычитание, умножение и возведение в степень.  

• Упоминается, что некоторые операции могут быть быстрее, если числа меньше модуля.  

• Обсуждается унарный минус и возведение в степень, а также их реализация на языке программирования.  

• Упоминается, что на питоне можно использовать встроенные функции для выполнения этих операций.  

• Обсуждается возведение в степень и модуль, а также их реализация на питоне и на языке программирования C++.  

• Упоминается, что возведение в степень может быть реализовано с использованием рекурсивной функции.  

• Автор объясняет, как возводить число в степень через цикл, используя двоичное представление числа и возведение в квадрат на каждом шаге.  

• Обсуждается, почему этот подход может быть эффективнее, чем использование рекурсии.  

• Автор объясняет, как делить число на другое число через цикл, используя операцию возведения в степень и обратное число.  

• Обсуждаются различные способы реализации деления через цикл и их преимущества.  

• В видео обсуждается решение задачи на Python, где нужно найти остаток числа, используя частичную систему.  

• Автор объясняет, что в Python это можно сделать, используя функцию, которая считывает число из потока и возвращает его остаток.  

• Автор упоминает, что в его задаче не было необходимости в дополнительных методах, но они могут ускорить вывод.  

• Он объясняет, что ускорение вывода достигается за счет отключения синхронизации между объектами и функциями.  

• Обсуждение использования сишного и скане вывода в классе.  

• Обсуждение использования френд функций для определения функций внутри класса.  

• Пример суммирования элементов массива по модулю.  

• Обсуждение необходимости аккуратного использования операций с отрицательными числами.  

• Обсуждение оптимизации кода для ускорения работы.  

• Обсуждение важности правильного использования скобок и приоритета операций.  

• Обсуждение выбора типа данных для остатка и его влияния на скорость работы.  

• Участники обсуждают, как классы и функции могут упростить процесс решения задач.  

• Упоминается, что классы могут быть написаны для решения задач с модулями, матрицами, деревьями отрезков и другими структурами данных.  

• Участники обсуждают, как деление может быть заменено умножением на обратный элемент.  

• Упоминается теорема Эйлера, которая утверждает, что а в степени фиат эм сравнимо с единицей.  

• Участники дают советы по написанию кода: избегать формул, разбивать большие формулы на части, избегать отрицательных чисел и использовать классы для упрощения формул.