Лекция 1 | Группы и теория гомотопий | Роман Михайлов | Лекториум

• Приветствие и объяснение внешнего вида.  

• Описание группы с двумя порождающими и тремя соотношениями.  

• Группа является полупримым произведением двух групп порядка два.  

• Группа напоминает группу Дидра.  

• Расщепимая последовательность и спектральная последовательность.  

• Гомологии группы и их коэффициенты.  

• Вычисление гомологий с использованием формулы Кюнета.  

• Расщепление последовательности и факторизация по действию.  

• Склеивание гомологий и получение нетривиальных результатов.  

• Планы на вводную лекцию и обсуждение научной философии.  

• Важность честности и откровенности в науке.  

• Личный опыт и размышления о преподавании и науке.  

• Обсуждение субкультур в математике и их трансформации.  

• Примеры субкультур и их взаимодействие.  

• Важность личного восприятия и субъективности в науке.  

• Математика делится на четыре части: жестко-жесткое, жестко-мягкое, мягко-жесткое и мягко-мягкое.  

• Жестко-жесткое: анализ.  

• Жестко-мягкое: изучение жестких структур мягкими методами, например, теория категорий.  

• Мягко-жесткое: геометрическая теория групп, где мягкие объекты рассматриваются как метрические пространства.  

• Мягко-мягкое: изучение мягких объектов с точностью до деформации и валентности.  

• В 1950-1960-х годах произошел значительный скачок в развитии алгебраической топологии и гомологической алгебры.  

• В дальнейшем произошел переход к использованию готовых форм, что привело к снижению глубины исследований.  

• Современные ученые часто занимаются сборкой из готовых форм, что может приводить к депрессии при отсутствии глубокого проникновения.  

• В прошлом ученые создавали целые миры, но многие проблемы остались открытыми.  

• Примеры открытых проблем: проблема сферичности Уайтхеда, проблема делителя нуля в групповых кольцах, проблема гомоопических экспонент.  

• Занятие наукой включает атаку на эти проблемы и создание теорий для их решения.  

• Гомотопические группы топологических пространств являются сложными объектами.  

• Для сферы и двумерной сферы гомотопические группы неизвестны.  

• Для конечных комплексов гомотопические группы представляют собой хаос, который можно приручить, как в примере с листочками на дереве.  

• Гомотопические группы двумерной сферы содержат элементы порядка 2, 3, 4, 5, 6, 12 и т.д.  

• В 44-й гомотопической группе нет элементов порядка 3.  

• Рост групп медленный, возможно, линейный или полиномиальный.  

• В гомотопических группах двумерной сферы есть элементы порядка 4, но нет элементов порядка 8.  

• Для нечетных простых чисел гомотопические группы содержат элементы порядка 2n, но не 2n^2.  

• Гомотопические группы сфер всех размерностей не содержат элементов больших экспонент.  

• Рекомендуется книга Нейзендорфера "Algebraic Topology".  

• Книга помогает понять основы и доказательства теорем в алгебраической топологии.  

• Полное доказательство теорем требует понимания различных концепций, таких как локализация и конструкции Джеймса.  

• Гомотопические группы букетов сфер содержат гомотопические группы всех размерностей.  

• Для простых нечетных чисел есть точная граница для гомотопических экспонент.  

• Для некоторых пространств, таких как семимерная и девятимерная сферы, точной оценки на два экспонента нет.  

• Для клеточных комплексов существует альтернатива: либо они конечномерны, либо растут экспоненциально.  

• Теорема Феликса Гальперина и Томаса показывает, что гомотопические группы не могут быть экспоненциально большими.  

• Комплексы первого вида называются эллиптическими, а второго вида — гиперболическими.  

• Конечные клеточные пространства делятся на эллиптические и гиперболические.  

• Эллиптические пространства имеют экспоненты, гиперболические - нет.  

• Проблема гомотопических экспонент связана с гипотезой Мура.  

• Конечное односвязное клеточное пространство имеет гомотопические экспоненты только если оно эллиптично.  

• Это серьезная гипотеза, требующая доказательств.  

• Пример с двумерной сферой и одномерной сферой показывает хаос гомотопических групп.  

• Гипотеза Мура ограничивает этажи домов в этой бесконечной вселенной.  

• Проблема гомотопических экспонентов требует качественных оценок хаоса.  

• Подходы к проблеме используют теорию групп.  

• В следующем году в Санкт-Петербурге пройдет конференция по этой теме.  

• Возможность для участников войти в сложную область.  

• Примеры с гомотопическими группами сфер и их сложностью.  

• Задача склеивания высших экспонентов в гомотопических группах.  

• Нестабильная теория гомотопии и методы ее решения.  

• Задача-сверхзадача и атака на нее с разных сторон.  

• Пример с надстройкой на RP2, где гипотеза Мура неизвестна.  

• Гипотеза Барата и стабильная теория гомотопии Адамса.  

• Введение в теорию групп и разные взгляды на группы.  

• Пример с тантристом и его определением группы.  

• Переход к обсуждению теории групп.  

• Физики рассматривают группы как непрерывные группы Ли.  

• Комбинаторная теория групп изучает группы, заданные порождающими соотношениями.  

• Группы можно задавать набором порождающих и соотношений.  

• Бернсайдовы группы имеют тождество, что любой элемент в степени n равен единице.  

• Свободные бернсайдовы группы экспоненты 2 являются табелевыми группами.  

• Свободные бернсайдовы группы экспоненты 3 конечны, но не импотентны.  

• Свободные бернсайдовы группы экспоненты 4 и 6 конечны.  

• Для экспоненты 5 гипотеза состоит в том, что группы бесконечны.  

• Доказано, что группы бесконечны для нечетных экспонент, начиная с 665.  

• Монстры Тарского — это двухпорожденные группы, которые бесконечны и периодичны.  

• Все собственные подгруппы таких групп циклические.  

• Эти группы позволяют строить аномальные группы с экзотическими свойствами.  

• Денис Осин построил конечно порожденную группу с одним нетривиальным классом сопряженности.  

• Бесконечно порожденные группы с такими свойствами можно построить без проблем.  

• Теория групп строится на аномалиях, где гипотезы о существовании групп с экзотическими свойствами подтверждаются.  

• Теория групп будет развиваться в контексте топологии.  

• Открытые проблемы из теории групп будут связаны с топологическими задачами.  

• Проблема делителя нуля в группах без кручения и гипотеза сферичности Уайтхеда будут рассмотрены.  

• Асферичность двумерного клеточного комплекса равносильна тривиальности второй гомотопической группы.  

• Если вторая гомотопическая группа тривиальна, то и все высшие гомотопические группы тривиальны.  

• Это следует из тривиальности фундаментальной группы универсального накрытия.  

• Гипотеза Уайтхеда утверждает, что любой подкомплекс асферичного комплекса также асферичен.  

• Это удивительная гипотеза, но контрпример пока не найден.  

• Адамс внес вклад в эту проблему, но не решил её.  

• Совершенный радикал группы — это максимальная совершенная подгруппа, равная своему коммутанту.  

• Связь с плюс-конструкцией Квилена определяет высшую категорию.  

• Проблема асферичности Уайтхеда связана с совершенными радикалами и плюс-конструкцией.  

• Нижний центральный ряд группы — это убывающая цепочка подгрупп.  

• Группы называются нильпотентно аппроксимируемыми, если пересечение подгрупп тривиально.  

• Нижний центральный ряд важен для топологии и теории симплициальных групп.  

• Группы с экзотическими свойствами, где нижний центральный ряд не стабилизируется на первом предельном ординале, имеют приложения в маломерной топологии.  

• Эти группы важны для теорий Фридмана, Кохрана и Пентаора.  

• В мае приедет американский тополог Кент Ор для чтения лекций по теории конкордантности и гомологическим кабардизмам.  

• Будут обсуждаться открытые проблемы алгебры и топологии, а также теория неимпотентных пополнений.  

• Планируется рассмотрение теории групп, производных Фокса, гомотопических модулей и других тем.