"Линейная алгебра", Кожевников П. А. 03.02.2021г.

• Обсуждение абстрактного понятия векторного пространства и его связи с геометрией, матрицами и системами линейных уравнений.  

• Примеры из геометрии, анализа и конечных полей.  

• Произвольное множество A с бинарной операцией сложения и унарной операцией умножения на константу.  

• Определение векторного пространства: аксиомы для бинарной операции сложения и унарной операции умножения на константу.  

• Доказательство следствий из аксиом векторного пространства.  

• Примеры использования аксиом для доказательства равенств и свойств.  

• Важность примеров и упражнений для понимания понятий.  

• Вводится понятие подпространства в векторном пространстве, которое определяется как подмножество, замкнутое относительно операций сложения и умножения на константу.  

• Упоминается, что пустое подпространство не интересно, и рассматриваются только непустые подпространства.  

• Упоминается, что нулевой вектор обязательно принадлежит подпространству, так как он принадлежит любому вектору из подпространства.  

• Также говорится, что противоположный элемент также принадлежит подпространству, если в определении подпространства положить лямбда равной минус единице.  

• Доказывается, что пересечение подпространств является подпространством, используя определения п.  

• 1 и п.  

•   

• Упоминается, что доказательство для пересечения подгрупп будет аналогичным.  

• Объединение подпространств редко бывает подпространством, так как оно не сохраняет свойство быть подпространством.  

• Проблема с объединением подпространств заключается в том, что оно не является замкнутым относительно вычитания.  

• Линейная комбинация - это сумма векторов с коэффициентами, которые могут быть равны нулю или нет.  

• Линейная оболочка - это множество всех линейных комбинаций векторов, включая тривиальные и нетривиальные.  

• Линейная оболочка всегда является подпространством.  

• В модели геометрии, где множество всех радиус-векторов является векторным пространством, подпространствами являются плоскость, проходящая через ноль, и прямая, проходящая через ноль.  

• Линейная оболочка - это множество всевозможных линейных комбинаций векторов, например, плоскость, натянутая на два некомпланарных вектора, или прямая, натянутая на два коллинеарных вектора.  

• Геометрия и линейная алгебра имеют много общего, и можно использовать терминологию одной области для описания другой.  

• Матрицы размера m на n с элементами поля F можно рассматривать как множество упорядоченных массивов длины n.  

• Симметрические и косо-симметрические матрицы - это подпространства в пространстве всех матриц.  

• Множество всех функций с заданной областью определения C из C в R можно рассматривать как векторное пространство.  

• Примеры подпространств: непрерывные функции, дифференцируемые функции, многочлены, числовые последовательности.  

• Примеры подпространств в пространстве всех последовательностей: последовательности, имеющие предел, ограниченные последовательности, последовательности, сходящиеся к нулю.  

• Рассматривается понятие фибоначчи последовательности и ее подпространство.  

• Обсуждается решение линейных однородных дифференциальных уравнений и их связь с линейной алгеброй.  

• Определяется ранг системы векторов и его связь с линейной независимостью.  

• Обсуждаются случаи бесконечного и нулевого ранга, а также размерность и ранг подпространства.  

• В этом видео обсуждается доказательство под копирку, которое можно использовать для доказательства различных теорем.  

• Это доказательство основано на принципе Дирихле и может быть использовано для доказательства различных теорем в математике.  

• В этом видео обсуждается основная теорема о рангах, которая играет ключевую роль в курсе, который автор развивает.  

• Эта теорема утверждает, что если система векторов "а" имеет ранг "р", а система векторов "б" шире, чем "а", то ранг "б" не может быть больше "р".  

• Теорема доказывается дословным повторением один в один, но важно отметить, что она верна только для систем векторов, где копии несущественны.  

• Теорема о линейной оболочке и ее следствия.  

• Размерности подпространств и их совпадение.  

• Базисные подсистемы и их описание.  

• Описание базисных подсистем и их свойства.  

• Дополнение до базисной подсистемы.  

• Упорядоченный набор векторов как базис.  

• Размерность пространства и количество векторов в базисе.  

• Базис в разных базисах и их количество.  

• Вводится понятие базиса и координат в векторном пространстве.  

• Базис - это линейно независимая подсистема векторов, которая может быть дополнена до базиса.  

• Координаты вектора - это его разложение по базису.  

• Координаты удобно оформлять в виде координатного столбца.  

• Вводится понятие линейного отображения, которое сохраняет операции сложения и умножения на константу.  

• В линейной алгебре такое отображение называется гомоморфизмом или линейным отображением.  

• Доказывается, что соответствие между векторами и координатными столбцами является линейным отображением.  

• Вводится понятие матрицы перехода, которая связывает два базиса в векторном пространстве.  

• Матрица перехода - это матрица, ранг которой равен размерности пространства.  

• Только невырожденные матрицы могут быть матрицами перехода.  

• Обсуждается, что столбцы образуют линейно независимую систему, если они образуют базис в n-мерном пространстве.  

• Если ранг меньше n, то столбцы линейно зависимы.  

• Проверяется формула перехода от одного базиса к другому, которая была в прошлом семестре.  

• Доказывается, что старый столбец равен столбцу старых координат, умноженному на матрицу перехода на столбец новых координат.  

• Обсуждается, что если у вас есть три базиса, то матрица перехода от одного к другому задается произведением матриц.  

• Доказывается, что обратный переход задается обратной матрицей.  

• В видео обсуждаются общие комментарии о геометрии, включая определения, такие как базис, линейная оболочка и размерность.  

• Размерность пространства теперь называется трехмерной, так как базис состоит из трех векторов.  

• Обсуждаются матрицы и их размерность, а также примеры матриц и их координатные столбцы.  

• В видео объясняется, что размерность пространства матриц два на три равна шести, а базис состоит из шести матриц.  

• Обсуждается, как найти размерность подпространства симметричных матриц и как устроены все базисы в пространстве столбцов.  

• В видео приводятся примеры, такие как многочлены и пространство решений однородной системы.  

• Обсуждается, как вычислить размерность пространства и как выбрать базис.  

• В заключение, автор призывает студентов не откладывать изучение теории и обязательно связывать ее с решением упражнений и примеров.