39. Комплексные числа: сопряжение, модуль, норма, деление. Алексей Савватеев. 100 уроков математики

• Вводится операция сопряжения комплексных чисел, которая равна a-bi, если само z равно a+bi.  

• Геометрически это означает отражение относительно вещественной оси.  

• Сопряжение инволютивно, то есть дважды примененное приводит к исходному числу.  

• Норма комплексного числа z равна z\*z\*, а модуль - корень из нормы.  

• Модуль - это расстояние до нуля, а норма - сумма квадратов вещественной и мнимой частей.  

• Модуль суммы двух комплексных чисел не превосходит суммы модулей, но равен ей только в исключительных случаях.  

• Это происходит, когда комплексные числа сонаправлены и отличаются умножением на вещественное число.  

• Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.  

• Норма произведения равна произведению норм.  

• Норма числа равна сумме квадратов его координат.  

• Деление комплексных чисел задается формулой z/w = z*1/w.  

• Сопряжение является автоморфизмом поля комплексных чисел.  

• Вещественная часть z/w равна (az + bw)/(c² + d²).  

• Мнимая часть z/w равна (-ad + bc)/(c² + d²).