09.10.2021 Лекция 10. Предел и неравенства, теорема Вейерштрасса, 2 зам. пр., число е и ряд для него

• В видео обсуждается расширенное множество вещественных чисел, включающее в себя плюс-минус бесконечности.  

• Рассматриваются примеры расширенного множества вещественных чисел, включая операции с бесконечностями.  

• Вводится теорема о предельном переходе в неравенствах, которая утверждает, что если предел последовательности меньше, чем предел другой последовательности, то с некоторого номера все члены первой последовательности будут меньше, чем все члены второй последовательности.  

• Доказывается следствие этой теоремы, которое утверждает, что предельный переход в неравенствах сохраняет неравенство, но из строгого делает не строгое.  

• Рассматриваются примеры применения предельного перехода в неравенствах, включая последовательности с нулями и бесконечностями.  

• Доказательства проводятся от противного, используя теоремы о предельном переходе и расширенном множестве вещественных чисел.  

• В видео обсуждается понятие предела последовательности и его связь с пределом функции.  

• Рассматриваются примеры, иллюстрирующие понятие предела и его свойства.  

• Доказывается теорема о сжатой переменной, которая утверждает, что если между последовательностями есть неравенство, то их пределы также будут связаны.  

• Обсуждается теорема вирш-трасса, которая утверждает, что если последовательность возрастает, то ее предел является супремом.  

• Доказывается эта теорема, используя определение супрема и свойства последовательности.  

• Обсуждаются вопросы по теореме вирш-трасса и второму замечательному пределу.  

• Задаются вопросы о том, что такое второй замечательный предел и как он связан с пределом функции.  

• В видео обсуждается второй замечательный предел, который позволяет объяснить, почему единица в степени бесконечность считается неопределенностью.  

• Доказывается, что последовательность единица плюс одна энная в степени н имеет предел, равный единицам в степени бесконечность.  

• Используя теорему Веш-трассы, показывается, что последовательность ограничена снизу и имеет предел.  

• Доказано, что предел последовательности равен числу е.  

• В видео обсуждается, как вычислить значение е, используя математический анализ.  

• Рассматривается последовательность, которая стремится к значению е, и показывается, как использовать бином Ньютона для ее представления.  

• Вводится понятие ряда Тейлора и показывается, как его можно использовать для вычисления значения е.  

• Обсуждается, как можно использовать бином Ньютона для представления ряда Тейлора.  

• Доказывается, что последовательность, представленная в виде суммы бинома Ньютона, стремится к значению е.  

• Объясняется, почему последовательность меньше, чем значение е, и как это можно использовать для вычисления значения е.  

• В видео обсуждается определение числа е, которое является пределом последовательности факториалов натуральных чисел.  

• Показано, что число е является иррациональным и его можно вычислить с заданной точностью.  

• Доказывается, что число е не может быть рациональным, используя метод от противного.  

• Показано, что если число е было бы рациональным, то оно должно было бы быть натуральным, но это противоречит определению числа е.  

• В видео подводятся итоги изучения числа е, его свойств и методов вычисления.  

• Автор надеется, что зрители теперь счастливы и довольны результатами.