Практика 4. Жорданова форма, жорданов базис. Часть 1.

• Жорданова форма - это базис, который дает максимально простую структуру матрицы линейного оператора.  

• Если оператор простой структуры, то Жорданова форма совпадает с базисом из собственных векторов.  

• В случае не простой структуры, количество собственных векторов недостаточно для базиса, поэтому добавляются присоединенные векторы.  

• Присоединенные векторы - это векторы корневого подпространства, которые удовлетворяют определенным условиям.  

• Жорданова цепочка строится из собственных и присоединенных векторов, начиная с собственного вектора.  

• Общее количество векторов в Жордановой цепочке должно быть равно кратности соответствующего варианта.  

• Задача: найти Жорданову форму и записать исходную матрицу в этом базисе.  

• Первый шаг: составить характеристический член матрицы и решить характеристическое уравнение.  

• Второй шаг: определить максимальную длину Жордановой цепочки для каждого собственного значения.  

• Третий шаг: найти собственные подпространства и векторы.  

• Четвертый шаг: построить Жорданову форму, используя полученные собственные и присоединенные векторы.  

• Рассматривается матрица A минус лямда и E в степени минус один, где E - единичная матрица.  

• Находятся подпространства собственных векторов и пересечение с подпространством собственных векторов.  

• Строится жорданова цепочка для каждого изтора.  

• Находятся собственные векторы и подпространство собственных векторов.  

• Находятся векторы, лежащие на пересечении подпространств.  

• Строится жорданова цепочка, начиная с вектора b1.  

• Находятся недостающие векторы для получения базиса всего пространства.  

• В качестве дополнительного вектора берется любой другой линейно независимый с b1 собственный вектор.  

• В данном видео обсуждается понятие "жорданова форма" матрицы линейного оператора.  

• В данном базисе матрица линейного оператора представима в виде блочной диагонали, состоящей из двух блоков: первый блок размером два, второй - один.  

• Трансформирующая матрица, переводящая исходную матрицу линейного оператора в форму, называется матрицей перехода от старого базиса к новому.  

• Матрица перехода состоит из столбцов, соответствующих базисным векторам, порядок записи которых соответствует порядку векторов в базисе.  

• В видео обсуждаются примеры и задачи на тему жордановой формы матрицы линейного оператора.  

• Если поменять местами два вектора в цепочке, то жорданова форма матрицы будет иметь другой вид.  

• В следующем видео будут рассмотрены другие задачи на эту тему.