Ряды Фурье. Решение задач.

• Построение графика функции на интервале от минус пи до пи.  

• Подпись точек на графике.  

• Нахождение коэффициентов а0 и аn по формулам.  

• Нахождение коэффициента bn по формуле.  

• Решение интеграла по частям.  

• Использование формулы интегрирования по частям.  

• Запись ответа с учетом знаков.  

• Участники решают интегралы, используя различные методы и подходы.  

• Обсуждаются ошибки и неточности в решениях.  

• Участники записывают представление функции в виде ряда Фурье, используя найденные коэффициенты.  

• Обсуждается, как построить график суммы ряда Фурье.  

• Участники обсуждают, как определить значение функции в точках разрыва, используя среднее значение левого и правого пределов функции.  

• Пример: определение значения функции в точке ноль.  

• В видео объясняется, как найти среднее значение функции, когда она имеет разрывы в определенных точках.  

• Если функция имеет разрывы в точках, которые находятся слева и справа от нуля, то среднее значение будет равно одной второй.  

• Если функция имеет разрывы в точках, которые находятся в точках минус пи и пи, то среднее значение также будет равно одной второй.  

• В видео демонстрируется, как построить график функции, используя среднее значение.  

• Для этого нужно найти значение функции в точке разрыва и разделить его на два.  

• Это значение будет равно одной второй и будет находиться ровно посередине между двумя точками разрыва.  

• В видео подчеркивается, что коэффициенты для построения графика не нужны, если задача состоит только в построении графика суммы ряда Фурье.  

• Если же требуется найти разложение функции в ряд Фурье и построить график суммы, то придется искать коэффициенты и строить график.  

• Задача состоит в разложении функции на своем периоде, который равен шести.  

• Для этого вычисляются коэффициенты Фурье по формулам, которые отличаются от формул для симметричного периода.  

• График суммы ряда Фурье строится путем дублирования функции на своем периоде и построения графика суммы в двух направлениях.  

• Точки разрыва функции отмечаются на графике.  

• Функция задана на промежутке от нуля до двух, но период равен двум.  

• Период функции равен двум, поэтому значение эль равно единице.  

• Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам, аналогичным формулам для симметричного периода.  

• В видео объясняется, как разложить функцию в ряд Фурье, если заданы ее значения на интервале от нуля до двух.  

• Для этого используется формула, где период функции определяется как разность между левым и правым концом интервала.  

• Затем вычисляются коэффициенты ряда Фурье, используя интегралы от функции на этом интервале.  

• На основе полученных коэффициентов строится график суммы ряда Фурье.  

• В видео подчеркивается, что график суммы будет таким же, как график функции, если функция задана кусочно-гладко.  

• В случае, если функция задана на несимметричном интервале, формулы для разложения и построения графика суммы будут немного видоизменены.  

• В видео разбирается пример из домашнего задания, где функция задана на интервале от минус пи до пи, и требуется найти коэффициенты Фурье и построить график суммы ряда Фурье.  

• В этом примере функция задана как f(x) = x cos(x) cos(pi x), и период функции равен от минус пи до пи.  

• В результате, коэффициенты Фурье для этого примера равны: a0 = 1/pi, a1 = 0, a2 = 0, и график суммы ряда Фурье совпадает с графиком функции.  

• Рассматривается функция, заданная формулой, и ее разложение в ряд Фурье.  

• Функция нечетная, поэтому коэффициенты а0 и аn не нужно считать.  

• Если функция состоит только из тригонометрических функций, то ее можно представить в виде ряда Фурье.  

• Для этого нужно использовать тригонометрические формулы для представления функции без степеней, но с аргументами косинусов и синусов.  

• Функция преобразуется с использованием формул понижения степени и возведения в куб.  

• В результате получается функция, которая представляет собой ряд Фурье.  

• Преподаватель объясняет, что функция задана от -π/2 до π/2, поэтому период равен π.  

• Функция раскладывается по косинусам 2x, а не косинусам x.  

• Преподаватель находит коэффициенты a0, a1, a2 и a3, используя ряд Фурье.  

• Коэффициенты bn равны нулю, так как синусы не участвуют в разложении.  

• Преподаватель объясняет, что часто просят найти коэффициенты, но это не обязательно.  

• Если просят найти сумму a0 + a2, то нужно найти периоды a0 и a2 и сложить их.  

• Зачетное занятие будет в виде теста по рядам Фурье.  

• Контрольная по рядам Фурье будет проходить прямо на паре в пятницу.  

• Преподаватель просит прислать контрольные работы, курсовые и другие работы, если они еще не были отправлены.