Л.В. Локуциевский. Выпуклая тригонометрия

• Докладчик рассказывает о своем опыте работы с выпуклой тригонометрией и геометрической теорией управления.  

• Он объясняет, что большинство задач оптимального управления решаются с помощью принципа максимума Понтрягина, но для задач с двумя управлениями это становится сложнее.  

• Докладчик вводит определение синуса и косинуса для выпуклого множества на плоскости.  

• Он объясняет, что эти функции наследуют многие свойства обычных синуса и косинуса, но их определение зависит от того, как выпуклое множество прометризовано.  

• Докладчик также обсуждает использование этих функций для решения задач оптимального управления с двумя управлениями.  

• В видео обсуждается использование функций синус-косинус для решения задач, связанных с выпуклыми множествами.  

• В частности, рассматривается теорема о том, что если выпуклое множество содержит начало координат, то его полярное множество совпадает с самим множеством.  

• Вводится понятие опорной функции множества и ее использование для определения радиуса поляры точки.  

• Обсуждается, как дифференцировать функции синус-косинус в полярных координатах и как это связано с якобианом.  

• В видео обсуждается задача Дидоны, которая была решена в 60-х годах Буземаном.  

• Задача была решена с использованием теории Буну-Минковского и получила все необходимые траектории.  

• После этого задачу решали еще 10 человек, и она стала известной.  

• В видео говорится о новых функциях, которые позволяют легко решать задачи, используя произвольное множество омега.  

• Эти функции получаются кусочно-линейными, и их можно найти, зная координаты вершин и площади.  

• Если множество не является многоугольником, функции могут быть более сложными и не интегрироваться в классических функциях.  

• В видео приводится пример вычисления функций для множества, которое является выпуклым и имеет параметризацию.  

• Для этого нужно найти угол между точкой и границей множества, а затем использовать его для вычисления функций.  

• В видео обсуждается решение задач с помощью синусов и косинусов, которые сводятся к решению дифференциальных уравнений.  

• Если задача решается в терминах синусов и косинусов, то она решается с точностью до одного интеграла.  

• Задача Дидоны - это классическая задача, в которой нужно соединить две точки на плоскости кривой минимальной длины, чтобы получилась заданная площадь.  

• Решение задачи известно, но автор хочет показать, как оно работает.  

• Решение задачи с помощью принципа максимума заключается в поиске управления, которое максимизирует функцию, зависящую от времени и координат.  

• Для решения задачи используется гамильтонова система уравнений, которая затем сводится к системе обыкновенных уравнений.  

• В видео обсуждается принцип максимума для гамильтониана, который является постоянным вдоль траектории.  

• Этот принцип используется для нахождения управления, которое максимизирует гамильтониан.  

• Управление определяется как косинус угла тета, который соответствует углу аш.  

• Угол тета должен бежать по границе растянутой поляры, чтобы заметаемая площадь была одинаковой за единицу времени.  

• Уравнения интегрируются, и ответ получается: угол тета должен быть равен нулю.  

• Икс и игрек определяются как производные от косинуса и синуса угла тета.  

• Рассматривается задача нахождения кривых наименьшей длины на плоскости Лобачевского с заданной метрикой.  

• Задача решается с помощью принципа максимума и оптимального управления.  

• Финслерова геометрия - это задача нахождения кривых наименьшей длины на многообразии с заданной нормой.  

• В данном случае рассматривается плоскость Лобачевского с финслеровой метрикой.  

• Принцип максимума и оптимальное управление применяются для решения задачи.  

• Вычисляется опорная функция множества и определяется закон изменения управления во времени.  

• В гиперболической геометрии можно дать определение гиперболического синуса через площадь.  

• Уравнение гиперболического синуса: минус косинус омега-тета равен нулю.  

• В финслевой геометрии геодезические могут быть разными при движении в разных направлениях.  

• Если множество омега не симметрично, то геодезические при движении в обратном времени не оптимальны.  

• Задача об иластиках близка к задаче об иластиках.  

• Уравнение в задаче об иластиках можно решить, используя полярную замену координат.  

• В видео обсуждается понятие сублимановых и субфинслевых задач, которые возникают в робототехнике и других областях.  

• Сублимановые задачи связаны с минимизацией длины кривой на многообразии, а субфинслевые задачи - с минимизацией длины кривой на группе.  

• В качестве примера рассматривается группа Кортана, на которой устроена сублиманова задача.  

• В результате решения сублимановой задачи получается уравнение, которое может быть решено с помощью стандартного интеграла энергии.  

• В субфинслевой задаче уравнение сводится к уравнению физического маятника, которое может быть решено с помощью первого интеграла.  

• Рассматривается дифференциальное уравнение с энергией, зависящей от косинуса.  

• Фазовый портрет уравнения зависит от уровня энергии и может иметь различные решения.  

• На сепаратистских уровнях энергии возникают интересные феномены, которых нет в классическом маятнике.  

• На этих уровнях энергии решение дифференциального уравнения может быть не единственным.  

• На некоторых уровнях энергии время движения по сепаратисте может быть конечным или бесконечным.  

• Оптимальные траектории могут быть получены, если делать это небольшое количество раз.