#240. Неравенства Йенсена, о средних, Коши-Буняковского, Гёльдера

• Рассматривается парабола с ветвями вверх и две точки на ней.  

• Утверждается, что середина отрезка не ниже значения функции в этой точке.  

• Цель - доказать неравенство Йенсена в общем виде и понять его применение.  

• Множество называется выпуклым, если отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит в этом множестве.  

• Примеры: круг и квадрат - выпуклые множества, четырехугольник - нет.  

• Парабола с ветвями вверх является выпуклым множеством.  

• Центр масс двух точек всегда находится внутри выпуклого множества.  

• Центр масс системы точек также будет внутри выпуклого множества.  

• Правила рычага для нахождения координат центра масс.  

• Теорема утверждает, что ордината центра масс выпуклой вниз функции не ниже ординаты графика.  

• Доказательство неравенства Йенсена для выпуклых вниз функций.  

• Вопрос о замене выпуклой вниз функции на выпуклую вверх.  

• Среднеарифметическое положительных чисел не меньше среднего геометрического.  

• Прологримирование и применение теоремы Йенсена.  

• Натуральный логарифм является выпуклым вверх, что меняет знак неравенства.  

• Для положительных чисел среднее квадратическое не меньше среднего арифметического.  

• Применение теоремы Йенсена к функции x^2.  

• Доказательство выпуклости функций x^2 и натурального логарифма.  

• Если вторая производная функции не отрицательна, то функция выпукла вниз.  

• Если вторая производная не положительна, то функция выпукла вверх.  

• Примеры: x^2 и натуральный логарифм.  

• Доказано неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел.  

• Выбраны иксы так, чтобы они были обратными для всех чисел.  

• Средняя геометрическая положительных чисел не меньше их среднего гармонического.  

• При каком условии неравенства обращаются в равенство?  

• Верно ли первое неравенство для любых действительных чисел?  

• Верно ли второе неравенство для любых неотрицательных чисел?  

• Вопрос для самых диких математиков: как получить неравенство между средним кубическим и средним квадратическим?  

• Доказано неравенство Коши-Буняковского в частном случае.  

• Обобщенная теорема Йенсена для положительной функции.  

• Преобразование неравенства для доказательства.  

• Замена положительных коэффициентов на не менее положительные числа.  

• Умножение на общий знаменатель двух дробей.  

• Доказательство неравенства через скалярное произведение векторов.  

• Доказательство фундаментального факта: неравенство Гельдера.  

• Функция эф от икс равно икс степени п и ее выпуклость вниз.  

• Преобразование неравенства Йенсена для доказательства.  

• Подбор чисел икс и м для получения неравенства Гельдера.  

• Решение уравнения для определения икс.  

• Умножение м на икс для проверки неравенства Гельдера.  

• Доказана серьезная теорема, имеющая обобщение.  

• Призыв к критическому мышлению и занятиям математикой.