44. Эквивалентные бесконечно малые функции и их свойства

• Обсуждение эквивалентных бесконечно малых функций и их свойств.  

• Упоминание предыдущего видео для тех, кто не знаком с темой.  

• Определение эквивалентных бесконечно малых функций при стремлении к определенной точке.  

• Эквивалентные бесконечно малые функции при стремлении к точке а.  

• Предел отношения функций в точке а равен единице.  

• Обозначение эквивалентности: альфа икс эквивалентна бета при икс, стремящемся к а.  

• Эквивалентность функций альфа и бета при стремлении к а симметрична.  

• Пример доказательства симметричности.  

• Асимптотическое равенство функций в окрестности точки а.  

• Примеры функций, эквивалентных при стремлении к определенной точке.  

• Примеры с синусом и тангенсом.  

• Переход к следующему свойству.  

• Если альфа эквивалентна бета и бета эквивалентна гамма, то альфа эквивалентна гамма.  

• Доказательство транзитивности через определение эквивалентности.  

• Две бесконечно малые функции альфа и бета эквивалентны при стремлении к а тогда и только тогда, когда их разность является бесконечно малой более высокого порядка.  

• Доказательство необходимости и достаточности.  

• Разность альфатекс минус бетатекс является бесконечно малой более высокого порядка.  

• Предел отношения разности к альфатекс при стремлении к а равен нулю.  

• Преобразование предела показывает, что предел отношения бетатекс к альфатекс равен единице.  

• Если предел отношения бетатекс к альфатекс равен единице, то функции альфатекс и бетатекс эквивалентны при стремлении к а.  

• Это свойство читается в обе стороны, что важно учитывать.  

• Предел отношения альфа-один на эф от икс к альфа-два на же от икс равен пределу отношения эквивалентных функций.  

• Можно заменять бесконечно малые множители эквивалентными функциями при нахождении предела.  

• Предел левой части равен пределу правой части после замены множителей.  

• Пределы отношений альфа-один и бета-один, альфа-два и бета-два равны единице.  

• Предел отношения бета-один а икс умножить на эф от икс в знаменателе бета-два умножить на же равен единице.  

• Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.  

• Доказательство для двух функций альфа от икс и бета от икс.  

• Сумма альфа-отте плюс бетатекс эквивалентна бетатекс при стремлении к а.  

• Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.  

• Замена суммы бесконечно малых ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.  

• Пример: сумма два икс плюс три икс-квадрат эквивалентна два икс при стремлении к нулю.