Тимашев Д.А. - Алгебра. Часть 2. Лекции - 3. Основная теорема о гомоморфизме. Автоморфизмы групп

• Гомоморфизм групп можно разложить на каноническую проекцию и изоморфизм.  

• Изоморфизм отправляет смежные классы по ядру в один и тот же образ.  

• Смежный класс по ядру является прообразом элемента в группе.  

• Фактор группы по ядру гомоморфизма изоморфен образу гомоморфизма.  

• Это удобно для вычисления факторов групп.  

• Для вычисления фактор-группы по нормальной подгруппе нужно найти гомоморфизм с ядром в этой подгруппе.  

• Образ гомоморфизма будет изоморфен фактор-группе по ядру.  

• Гомоморфизм из группы действительных чисел в мультипликативную группу поликомплексных чисел.  

• Ядро гомоморфизма - группа целых чисел, образ - группа комплексных чисел по модулю единицы.  

• Фактор-группа по ядру - единичная окружность на комплексной плоскости.  

• Гомоморфизм из группы подстановок в мультипликативную группу действительных чисел.  

• Ядро - четные подстановки, образ - группа из двух элементов.  

• Фактор-группа - циклическая группа второго порядка.  

• Гомоморфизм определитель из полной матричной группы в мультипликативную группу поля.  

• Ядро - специальная матричная группа, образ - мультипликативная группа поля.  

• Фактор-группа - мультипликативная группа поля.  

• Гомоморфизм из группы целых чисел в мультипликативную группу поликомплексных чисел.  

• Ядро - группа целых чисел, кратных m, образ - группа комплексных корней степени m из единицы.  

• Фактор-группа - аддитивная группа кольца вычетов по m.  

• Гомоморфизм из мультипликативной группы комплексных чисел в мультипликативную группу действительных чисел.  

• Ядро - единичная окружность, образ - группа положительных чисел.  

• Фактор-группа - группа положительных чисел.  

• Основная теорема гомоморфизма полезна для вычисления фактор-групп.  

• Примеры  

• Рассматривается теорема, удобная для изучения структуры групп.  

• Теорема называется второй теоремой об изоморфизме групп.  

• Основная теорема о гомоморфизмах называется первой теоремой об изоморфизме.  

• Пусть G и H — подгруппы группы G.  

• Рассматривается произведение подгрупп G x H.  

• Произведение не зависит от порядка множителей.  

• Произведение подгрупп является подгруппой.  

• Произведение содержит обе исходные подгруппы.  

• Нормальная подгруппа в произведении также нормальна в подгруппе.  

• Рассматривается фактор-группа G/H по подгруппе H.  

• Изоморфизм между фактор-группами G/H и G/H ∩ H.  

• Доказательство теоремы.  

• Произведение G x H не зависит от порядка множителей.  

• Объединение левых смежных классов совпадает с объединением правых.  

• Произведение G x H равно H x G.  

• Произведение G x H содержит единицу.  

• Замкнутость относительно умножения.  

• Замкнутость относительно обратного элемента.  

• Произведение G x H содержится в любой подгруппе, содержащей G и H.  

• Произведение G x H является наименьшей подгруппой, содержащей G и H.  

• Использование основной теоремы о гомоморфизмах.  

• Каноническая проекция из G на фактор-группу G/H.  

• Образ гомоморфизма канонической проекции равен фактор-группе G/H.  

• Рассматривается подгруппа аш в произведении аш умножить на н.  

• Утверждается, что образ подгруппы аш при гомоморфизме канонической проекции совпадает с самой группой аш.  

• Применяется основная теорема о гомоморфизмах для доказательства.  

• Ядро гомоморфизма канонической проекции ограничено на подгруппу аш.  

• Элементы, отображающиеся в единицу при канонической проекции, принадлежат подгруппе н.  

• Образ гомоморфизма изоморфен фактор-группе аш по ядру, пересечению аш с н.  

• Теорема позволяет упростить вычисление фактора группы произведения двух групп.  

• Это удобно при изучении структуры группы ж.  

• Рассматриваются гомоморфизмы из группы ж в саму себя, называемые эндоморфизмами.  

• Изоморфизм эндоморфизма называется автоморфизмом.  

• Множество всех автоморфизмов группы ж образует группу относительно композиции.  

• Группа автоморфизмов показывает внутренние симметрии группы ж.  

• Она важна для исследования структуры группы и подстановки элементов.  

• Рассматриваются группы автоморфизмов простейших групп, таких как циклические группы.  

• Для конечных циклических групп группа автоморфизмов изоморфна мультипликативной группе кольца вычетов по модулю м.  

• Вычет числа по модулю м обратим тогда и только тогда, когда число к взаимно просто с м.  

• Количество обратимых вычетов по модулю м равно функции Эйлера от числа м.  

• Для бесконечной циклической группы группа автоморфизмов изоморфна мультипликативной группе кольца целых чисел.  

• Группа автоморфизмов бесконечной циклической группы изоморфна мультипликативной группе кольца целых чисел.  

• У группы целых чисел по сложению всего два автоморфизма.  

• Доказательство этого предложения будет рассмотрено после перерыва.  

• Рассматривается произвольный эндоморфизм группы вычетов по модулю м.  

• Эндоморфизм умножает произвольный вычет на вычет числа к.  

• Любой эндоморфизм группы вычетов является операцией умножения на фиксированный элемент кольца вычетов.  

• Композиция эндоморфизмов задается умножением на произведение соответствующих множителей.  

• Автоморфизм существует тогда и только тогда, когда существует обратный к нему.  

• Взаимно однозначное соответствие между автоморфизмами и обратимыми вычетами.  

• Взаимно однозначное соответствие между группой автоморфизмов и группой обратимых вычетов является изоморфизмом групп.  

• Произведению автоморфизмов соответствует произведение множителей.  

• Доказательство для произвольных эндоморфизмов аналогично.  

• Эндоморфизм фи от суммы единиц равен сумме образов единицы.  

• При отрицательном н сумма единиц заменяется на сумму минус единиц.  

• При нулевом н фи от н равно нулю.  

• Эндоморфизмы группы целых чисел являются операцией умножения на фиксированное целое число.  

• Автоморфизмы соответствуют обратимым целым числам.  

• Между автоморфизмами и обратимыми целыми числами существует изоморфизм групп.  

• Каждый элемент группы определяет внутренний автоморфизм.  

• Внутренний автоморфизм отображает элемент в сопряженный элемент.  

• Операция сопряжения является гомоморфизмом и автоморфизмом группы.  

• Рассматривается отображение, сопоставляющее элементу группы внутренний автоморфизм.  

• Это отображение является гомоморфизмом групп.  

• Множество всех внутренних автоморфизмов группы является подгруппой.  

• Это подгруппа является нормальной подгруппой в группе всех автоморфизмов.  

• Ядро гомоморфизма состоит из элементов, для которых внутренний автоморфизм тождественен.  

• Это ядро является центром группы.  

• Группа внутренних автоморфизмов изоморфна фактор-группе группы по своему центру.  

• Проверка, что отображение является гомоморфизмом групп.  

• Операция сопряжения с произведением элементов группы переводит элемент в композицию соответствующих внутренних автоморфизмов.  

• Проверка нормальности подгруппы внутренних автоморфизмов.  

• Сопряжение внутреннего автоморфизма с помощью автоморфизма не выводит за пределы подгруппы.  

• Ядро гомоморфизма состоит из элементов, для которых операция сопряжения тождественна.  

• Это ядро является центром группы.  

• Группа внутренних автоморфизмов изоморфна фактор-группе группы по своему центру.  

• Центр группы является ядром гомоморфизма.  

• Группа внутренних автоморфизмов изоморфна фактор-группе по ядру.  

• Группа внешних автоморфизмов измеряет симметрии, не являющиеся внутренними автоморфизмами.  

• Группа внешних автоморфизмов состоит из смежных классов по подгруппе внутренних автоморфизмов.  

• Внешние автоморфизмы измеряют симметрии, не происходящие из умножения в группе.  

• В абелевых группах центр совпадает со всей группой, и внутренние автоморфизмы тривиальны.  

• Группа внутренних автоморфизмов неабелевой группы не может быть циклической.  

• Доказательство от противного: если группа циклическая, то она абелева, что противоречит условию.  

• Группа внешних автоморфизмов может быть абелевой, но не циклической.  

• Центр группы обозначается как z.  

• Если фактор-группа по центру циклическая, то любой элемент группы представляется в виде степени порождающего элемента, умноженного на элемент из центра.  

• Любые два элемента такого вида коммутируют, что делает группу абелевой, что противоречит условию.