5.1 Задача Штурма-Лиувилля

• Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом Фурье.  

• Задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с условиями на концах отрезка.  

• Задача Штурма-Лиувилля как промежуточный этап в решении уравнений в частных производных.  

• Четыре типа задач: нулевые условия на функцию или производную на обоих концах отрезка.  

• Решение задачи для функции с периодическим ограниченным условием.  

• Проблемы с решением дифференциальных уравнений второго порядка и линейные дифференциальные уравнения.  

• Однородные уравнения для функции одной переменной.  

• Поиск решения в виде экспоненты с неизвестным множителем.  

• Определение коэффициента альфа через дискриминант.  

• Дискриминант больше нуля: два решения.  

• Дискриминант равен нулю: одно решение.  

• Дискриминант меньше нуля: комплексные числа и мнимая единица.  

• Использование комплексных чисел для решения уравнений.  

• Преобразование экспонент через синусы и косинусы.  

• Избавление от мнимых единиц и получение общего решения.  

• Решение уравнения с отрицательным дискриминантом записывается через экспоненту и тригонометрические функции.  

• Это будет использоваться при решении задачи Штурма-Лиувилля.  

• Скалярное произведение функций аналогично скалярному произведению векторов.  

• Скалярное произведение двух функций дает число, которое не меняется при перестановке множителей.  

• Интеграл произведения двух функций также дает число, которое не может быть отрицательным.  

• Если скалярное произведение двух функций равно нулю, они называются ортогональными.  

• Ортогональность функций аналогична ортогональности векторов.  

• Система функций, скалярное произведение которых равно нулю при их различии и единице при совпадении, называется ортонормированной системой функций.  

• Рассматриваются различные варианты задачи Штурма-Лиувилля с нулевыми граничными условиями.  

• Уравнение: x'' + λx = 0, где λ может быть отрицательным.  

• Решение: при λ < 0 функция x от x всегда равна нулю.  

• При лямбда равном нулю уравнение остается простым: x' = 0.  

• Интегрирование левой и правой части дает x = c1x + c2.  

• Граничные условия на концах x = 0 и x = l приводят к c1 = c2 = 0.  

• При лямбда больше нуля уравнение принимает вид: x' + gamma^2x = 0.  

• Характеристическое уравнение: alpha^2 + gamma^2 = 0.  

• Решение: alpha = ±sqrt{-gamma^2}, x = c1e^gammax + c2e^-gammax.  

• Подстановка x = 0 дает c2 = 0.  

• Граничное условие на левом конце: c1sin gamma l = 0.  

• Решение: gamma = pi/l, x = c1sin pi/l x.  

• Найдено множество функций для каждого целого числа n.  

• Отрицательные n не рассматриваются, так как они дают те же функции с другой константой.  

• Ограничение на натуральные числа n.  

• При лямбда меньше нуля уравнение: x' + gamma^2x = 0.  

• Решение: x = c1e^gammax + c2e^-gammax.  

• Граничные условия приводят к c1 = c2 = 0, что делает x тождественно равным нулю.  

• При лямбда равном нулю уравнение: x' = 0.  

• Решение: x = c1x + c2.  

• Граничные условия приводят к c1 = c2 = 0, что делает x тождественно равным нулю.  

• При лямбда больше нуля уравнение: x' + gamma^2x = 0.  

• Решение: x = c1sin gamma x + c2cos gamma x.  

• Граничные условия приводят к gamma = pi/2n+1/2l, x = c1cos pi/2n+1/2lx.  

• Найдено множество функций для каждого натурального числа n.  

• Отрицательные n не рассматриваются, так как они дают те же функции с другой константой.  

• Ограничение на натуральные числа  

• Икс равно икс большое ц один на е в степени гамма-икс плюс ц два на е в степени минус гамма-икс.  

• Подставляем икс в нуле и икс штрих в точке эль.  

• Экспоненты в нулевой степени дают единицы, что равно нулю.  

• Икс от икс тождественно равен нулю.  

• Икс от икс равно ц один на икс плюс ц два.  

• Подставляем икс в нуле и икс штрих в точке эль.  

• Икс от икс тождественно равен нулю.  

• Икс от икс равно а на синус корень из лямда-икс плюс б на косинус корень из лямда-икс.  

• Подставляем условия икс в нуле и икс штрих в точке эль.  

• Корень из лямда равен пи, что приводит к решению икс от икс.  

• Икс от икс равно ц один на е в степени гамма-икс плюс ц- два е в степени минус гамма-икс.  

• Подставляем икс штрих в нуле и икс штрих в точке эль.  

• Икс от икс тождественно равен нулю.  

• Икс от икс равно ц один, икс плюс ц- два.  

• Подставляем икс штрих в нуле и икс штрих в точке эль.  

• Остается одно решение: икс равно ц- два.  

• Икс от икс равно а на синус корень из лямда-икс плюс б на косинус корень из лямда-икс.  

• Подставляем икс штрих в нуле и икс штрих в точке эль.  

• Корень из лямда равен пи делить на эль.  

• Икс от икс равно ц один на е в степени гамма-фи плюс ц два на е в степени минус гамма-фи.  

• Подставляем условия фи плюс два пи и фи.  

• Коэффициенты при экспонентах должны быть равны нулю.  

• Икс от икс равно ц один на фи  

• Рассматриваются уравнения с синусами и косинусами.  

• Уравнения записываются в виде коэффициентов перед синусами и косинусами.  

• Переносятся все члены в левую часть для упрощения.  

• Важно, чтобы коэффициенты а и б не были одновременно равны нулю.  

• Система уравнений рассматривается как однородная система с нулями в правой части.  

• Определитель системы должен быть равен нулю для существования решения.  

• Находятся коэффициенты определителя системы.  

• Уравнение сводится к косинусу и синусу в квадрате.  

• Определяется условие, при котором функция фи от фи не равна нулю.  

• Рассматривается ортогональность функций собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.  

• Находится интеграл от произведения двух функций.  

• Доказывается, что функции ортогональны при разных значениях н и м.  

• Рассматривается задача с условием на производную на левом конце и на функцию на правом конце.  

• Находится интеграл от произведения косинусов.  

• Доказывается ортогональность функций при разных значениях н и м.  

• Символ Кронекера дельта нм означает, что число равно нулю, если н и м не совпадают, и единице, если совпадают.  

• Этот символ используется для упрощения записи условий.  

• Проверка интегралов от произведений функций для синусов и косинусов.  

• Рассматривается случай, когда н может быть натуральным числом или нулем.  

• Косинус нуля дает константу, что учитывается в множестве.  

• Рассматриваются две собственные функции: фи от фи и косинус энфи.  

• Рассматриваются скалярные произведения функций фи от фи и косинус энфи.  

• Интегралы от синусов и косинусов от нуля до двух пи.  

• Исключение случая, когда н и м натуральные числа.  

• Произведение косинусов и синусов дает ноль, кроме случая, когда н равно м.  

• Произведение синуса на косинус раскладывается в сумму синусов.  

• Ортогональность функций фи от фи и косинус энфи.  

• Функции фи от фи ортогональны, кроме случая, когда н равно м.  

• Введение константы, которая дает два пи при интегрировании.  

• Ортогональность функций фи один н и фи два н.  

• Скалярные произведения функций фи один н и фи один м равны нулю, кроме случая совпадения.  

• Ортогональность всех функций, кроме совпадающих.  

• Важность понимания интегралов от синусов и косинусов.