I. Основания математики: теория множеств vs. теория типов

• Видео начинается с представления автора, Льва Ламберова, который расскажет о современном теоретико-типовом подходе к основаниям математики и некоторых философских проблемах, связанных с этим подходом.  

• Видео разделено на три части, каждая из которых будет посвящена отдельной теме.  

• В начале видео автор рассказывает об истории развития теоретико-типового подхода, начиная с работ Кантора и заканчивая современными разработками.  

• В 1930 году Цермел предложил внутреннее обоснование теории множеств, а в 1940 году Черч разработал лямбда-исчисление и теорию типов.  

• В этой части видео автор обсуждает философские проблемы, связанные с теоретико-типовым подходом, и их решение.  

• В 1970-х годах Мартин Лев предложил более сложные типы, которые позволяют выражать предикаты, кванторы и другие интересные вещи.  

• В 2000-х годах Владимир Воеводский начал развивать унивалентный подход к основаниям математики, который продолжает развиваться и сегодня.  

• Современная математика становится все сложнее из-за громоздких результатов и доказательств.  

• Доказательства занимают сотни страниц, и их сложно прочитать и понять.  

• Количество математических журналов и результатов растет, что усложняет отслеживание информации.  

• Математики не могут прочитать и удержать в голове огромные доказательства.  

• Теоретика типовый подход предлагает упростить математику, используя триединство вычисления: логику, программирование и категории.  

• Теория множеств и теория типов имеют структурные различия, объекты, статус суждений и высказываний, определение функции и другие.  

• В теории множеств используется содержательная теория, логика и аксиомы, а в теории типов - синтаксис и логика, встроенные в теорию.  

• В теории типов объекты не сводятся к множеству, а точки, прямые и плоскости рассматриваются как отдельные сущности.  

• Теория типов - это раздел математики, который занимается изучением типов данных и их свойств.  

• В теории типов объекты могут быть представлены в виде типов данных, которые могут быть объединены в более сложные типы.  

• Теория множеств предполагает, что все объекты сводятся к множествам, но возникают парадоксы, такие как парадокс Кантора и парадокс Рассела.  

• В теории типов объекты могут быть не интуитивно понятными, но их поведение определяется правилами, которые задают эти объекты.  

• Суждения в теории типов не оцениваются на истинность и ложность, а описывают контекст нашего знания о мире.  

• В теории типов есть разные виды суждений, такие как типизация, равенство типов и другие.  

• Суждения определяются индуктивно, что позволяет строить доказательства по индукции.  

• Видео обсуждает использование нелогических терминов в теории множеств, таких как принадлежность элемента множеству и высказывания.  

• В материальных теориях, таких как теория множеств Френкеля, высказывания анализируются как импликации, что может привести к проблемам, таким как проблема пустой истины.  

• В теории множеств возникают двусмысленности из-за разницы в определении понятия функции и равенства функций.  

• В теории типов функции определяются как вычислительные процедуры, что приводит к сложности с понятием равенства для функций.  

• В теории типов функции определяются как алгоритмы, что позволяет избежать проблем с понятием равенства для функций.  

• В теории типов электричество стоит дешево, что позволяет быстро вскипятить чайник.  

• В лесу же, чтобы вскипятить чайник, нужно собрать траву и развести костер, что занимает время и требует больше энергозатрат.  

• Хорошо типизированные термы в теории типов всегда вычисляются и дают результат.  

• В математике точки, прямые и плоскости являются естественными объектами, которые имеют разные статусы.  

• Унивалентные основания математики используют гомотопическую теорию типов, основанную на алгебраической топологии.  

• В гомотопической теории типов используется доктрина высказывания, которая позволяет работать с эквивалентными объектами.  

• Современная теория типов использует гомотопическую теорию типов и унивалентные основания математики.  

• В основе теории лежит аксиома невалентности, которая позволяет работать с эквивалентными объектами.  

• В книге "Гомотопическая теория типов и унивалентные основания математики" рассматриваются основы гомотопической теории типов и строятся фрагменты теории гомотопии, теории категории и теории множеств.