Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводности

• Рассматривается дифференциальная постановка задачи для уравнения теплопроводности, где есть первая производная по времени и вторая производная по пространству.  

• Вводится разностная сетка, где каждая точка имеет координаты тт и икс мт.  

• Аппроксимация производных по времени и пространству осуществляется через значение функции и ее производные на трех точках.  

• Исследуется неявная схема на устойчивость, где значение функции и ее производные заменяются на лямбда в степени n.  

• Получено уравнение для амплитуды погрешности, которое должно быть меньше либо равно единицы.  

• Ограничение на шаг по времени: сигма должно быть меньше либо равно одной второй.  

• Неявная схема выглядит аналогично явной, но с индексами у неизвестного значения на верхнем слое по времени.  

• Аппроксимация для неявной схемы: разложение в ряд телора для всех компонентов функции.  

• Главные члены погрешности: первая степень тау и вторая степень аш.  

• В видео обсуждается устойчивость разностных схем для уравнения теплопроводности.  

• Рассматривается линейная задача, где вместо функции используется ее разложение по тригонометрическим функциям.  

• Устойчивость схемы определяется по спектральному признаку, где исследуется модуль лямбда.  

• Если лямбда больше единицы, то схема устойчива.  

• Явная схема устойчива, но медленная и имеет ограничения на шаги по времени.  

• Неявная схема требует дополнительных действий для решения системы уравнений, но имеет ограничения только по аппроксимации.  

• Для решения системы уравнений используется алгоритм прогонки, который позволяет быстро и эффективно решать задачи.  

• Условия устойчивости алгоритма прогонки - не строгое диагональное преобладание и выполнение условий строгого диагонального преобладания для каждой строчки матрицы.