26.11.2022 Лекция 22. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и Дарбу

• Видео начинается с извинения за задержку, связанную с переносом лекции.  

• Обсуждаются французские теоремы, включая теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Дарбу-Каши.  

• Теорема Роля утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале, и имеет одинаковые значения на концах отрезка, то в некоторой точке на интервале производная функции равна нулю.  

• Доказательство теоремы Роля основано на использовании теоремы Вейерштрасса о достижении наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.  

• Геометрический смысл теоремы Роля заключается в том, что если функция достигает максимума или минимума внутри интервала, то производная функции равна нулю.  

• Теорема Лагранжа утверждает, что для непрерывной функции на отрезке и дифференцируемой на интервале, существует точка, в которой производная равна тангенсу наклона касательной.  

• Это геометрический смысл теоремы, который можно использовать для определения монотонности функции.  

• Если производная функции больше нуля, то функция возрастает.  

• Если производная меньше нуля, то функция убывает.  

• Для строгого возрастания или убывания достаточно, чтобы производная была строго больше или меньше нуля на интервале.  

• Доказательство критерия монотонности основано на теореме Лагранжа и предельном переходе.  

• Геометрический смысл теоремы Лагранжа: функция возрастает, если производная функции положительна.  

• Достаточность теоремы Лагранжа: если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке, то она возрастает на этом отрезке.  

• Если функция непрерывна и дифференцируема на отрезке и ее производная равна нулю на этом отрезке, то функция является константой на этом отрезке.  

• Если функция непрерывна на множестве и ее производная ограничена на этом множестве, то функция равномерно непрерывна на этом множестве.  

• Доказательство: если производная функции ограничена константой, то функция равномерно непрерывна.  

• Теорема Каши утверждает, что если две функции непрерывны на отрезке и имеют производные на этом отрезке, то существует точка, в которой их производные равны.  

• Доказательство теоремы Каши основано на применении теоремы Лагранжа и теоремы Роля.  

• Теорема Дарбу утверждает, что для любой дифференцируемой функции на отрезке, производная принимает все промежуточные значения.  

• Это утверждение является теоремой о промежуточных значениях производной, и его доказательство основано на непрерывности функции.  

• Важно отметить, что теорема Дарбу не может быть доказана, если функция не имеет производной.  

• Рассматривается теорема о непрерывности функции, если ее производная является непрерывной.  

• Доказывается, что функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой в некоторых точках.  

• Рассматривается вспомогательная функция, которая является производной исходной функции.  

• Доказывается, что существует точка, в которой производная равна нулю.  

• Теорема о непрерывности функции доказана.