Супремум и инфинум, система вложенных отрезков

• Обсуждение понятий ограниченного сверху и снизу множества, а также их свойств.  

• Введение понятий точной верхней и нижней грани, определение их как наименьшего и наибольшего элементов, ограничивающих множество сверху и снизу.  

• Примеры множеств с точными гранями и их элементами.  

• Теорема о том, что всякое не пустое, ограниченное сверху или снизу множество имеет точную верхнюю или нижнюю грань.  

• Доказательство теоремы опирается на аксиому непрерывности вещественных чисел.  

• Множество е ограничено сверху, множество бета - это множество всех вещественных чисел, ограничивающих множество е сверху, а множество а - это все остальные вещественные числа.  

• Если элемент кси- принадлежит множеству бета, то для всех а и б из а, выполняется неравенство кси- меньше либо равно б.  

• Доказывается, что кси- является супремумом множества е, так как он ограничивает множество сверху и является наименьшим из элементов, ограничивающих множество сверху.  

• Для любого вещественного числа а найдется натуральное число н, большее, чем а.  

• Доказывается от противного, что множество натуральных чисел ограничено сверху и имеет супремум.  

• Следствие: для любых двух чисел а и б, и зр, таких, что ноль меньше а меньше б, найдется натуральное число н, для которого выполняется неравенство н а больше в.  

• Рассматривается система вложенных отрезков, где каждый отрезок меньше либо равен предыдущему.  

• Доказывается, что для любой такой системы существует точка, принадлежащая всем отрезкам.  

• Приводятся примеры систем вложенных отрезков: ноль и единица, а минус единица на n и а плюс единица на n, один минус единица на n и два плюс единица на n.  

• Доказывается, что для каждой системы существует точка, принадлежащая всем отрезкам.  

• Утверждение теоремы доказано для любой системы вложенных отрезков.  

• В качестве замечания вводится дополнительное понятие: [SEP] (супремум и инфинум).  

• Обсуждается система вложенных отрезков, у которых длина стремится к нулю.  

• Длина отрезков системы вложенных отрезков может стремиться к нулю, а длина отрезков системы, где длина не стремится к нулю, стремится к единице.  

• Для любой системы вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам системы.  

• Эта точка может быть найдена с помощью определения супрема и инфинула.  

• В условиях теорем о вложенных отрезках нельзя заменить отрезки интервалами, полу-интервалами или другими множествами.  

• Если отрезки схлопываются в точку, то внутри такой элемент будет точно один.  

• Эти теоремы будут использоваться для доказательства свойств в дальнейшем.