ОКТЧ 9. Формула включений-исключений.

• В видео рассказывается о формуле включения исключений, которая используется для определения количества объектов, обладающих определенными свойствами.  

• В качестве примера рассматривается аудитория, состоящая из 80 студентов, каждый из которых обладает определенным качеством (например, знанием английского, французского или немецкого языка).  

• Для определения количества людей, не владеющих ни одним из языков, используется формула, которая учитывает пересечения между различными языками.  

• В результате получается формула, которая выражает количество людей, не обладающих ни одним из заданных свойств.  

• Доказательство формулы включения исключений осуществляется с помощью математической индукции.  

• В видео демонстрируется процесс доказательства, но не приводится полное доказательство.  

• База индукции показывает, что для любого числа объектов, обладающих свойством, количество объектов, не обладающих этим свойством, равно количеству объектов, обладающих этим свойством.  

• Предположения индукции используются для доказательства формулы включения-исключения для любого числа объектов и любого количества свойств.  

• В видео приводятся два примера применения формулы включения-исключения: комбинаторное тождество и доказательство восьмого тождества.  

• Формула включения-исключения может быть использована для получения различных комбинаторных тождеств и соотношений.  

• Рассматривается множество, состоящее из элементов, и выбирается из него все возможные размещения с повторениями и без повторений.  

• Количество таких размещений равно n! - n(n-1)(n-2)...(n-k+1)  

• Вводится понятие свойства альфа и его индекса.  

• Рассматривается пример с восемьюдесятью людьми, которые случайным образом рассаживаются по местам в аудитории.  

• Задача: найти вероятность того, что никто из них не сидит на своем месте.  

• Используется формула включения-исключения для решения задачи.  

• Вероятность равна нулю, так как ни один человек не сидит на своем месте.  

• В видео обсуждается вероятность того, что один человек из группы из 80 человек попадет на свое место.  

• Для решения задачи используется ряд Тейлора и исключение.  

• Вводится понятие циклических последовательностей и их количество.  

• Рассматривается пример с девушками и алфавитом.  

• В видео упоминается формула обращения Мебиуса, которая будет рассмотрена в следующем видео.  

• Автор объясняет формулу обращения Мебиуса, которая была придумана не для обращения листа, а для преобразования функции.  

• Основная теорема арифметики утверждает, что для любого натурального числа n, начиная с двойки, существует набор различных простых чисел и натуральных степеней, которые могут быть представлены в виде произведения этих чисел.  

• Это разложение называется каноническим и является единственным.  

• Автор заканчивает видео, обещая рассказать анекдот про ферматиста в следующий раз, если будет запрос на это.