Алгебра и геометрия 4. Жорданова нормальная форма.

• В лекции обсуждается ситуация, когда характеристический многочлен линейного оператора не является линейным.  

• В этом случае, пространство, на котором действует оператор, раскладывается в прямую сумму корневых подпространств.  

• Доказывается утверждение о том, что корневое пространство является объединением корневых подпространств, соответствующих различным собственным значениям оператора.  

• Определяется понятие жордановой клетки и жордановой матрицы.  

• Формулируется теорема о жордановой нормальной форме, которая утверждает, что любой линейный оператор, характеристический многочлен которого факторизуем, может быть представлен в виде жордановой матрицы.  

• Вводится понятие корневого пространства и его инвариантность относительно оператора.  

• Доказывается, что любое корневое пространство инвариантно относительно оператора.  

• Определяется патентный оператор как оператор, для которого существует натуральное число, такое, что все степени оператора обнуляют вектор.  

• Доказывается, что любой патентный оператор имеет джорданову матрицу.  

• Вводится понятие циклического пространства и его базис, порожденный оператором.  

• Доказывается, что циклическое пространство инвариантно относительно оператора и имеет джорданову матрицу в базисе.  

• Доказывается, что произвольный оператор можно разложить в прямую сумму циклических пространств.  

• Утверждается, что существует прямое дополнение дублевого пространства, инвариантное относительно оператора.  

• Разложение оператора в прямую сумму циклических пространств и дублевого пространства.  

• Утверждение, что вектор максимальной высоты можно добавить к дублевому пространству, не нарушая его инвариантности.  

• Если оператор имеет диагональную матрицу, то он имеет базис, в котором матрица оператора является диагональной.  

• В каждом циклическом пространстве есть базис, матрица ограничения которого на это пространство является диагональной.  

• Если все циклические пространства инвариантны относительно оператора, то оператор имеет диагональную матрицу.  

• Доказывается существование жордановой матрицы для произвольного оператора с характеристическим многочленом.  

• Для этого строится жорданова диаграмма в корневом пространстве оператора.  

• Показывается другой способ построения жордановой матрицы, основанный на построении жордановой диаграммы по горизонтали.  

• Для этого используется понятие витого ядра и его вложенных пространств.  

• Утверждение: если векторы образуют линейно независимую систему, то их образы также образуют линейно независимую систему.  

• Это утверждение позволяет выбрать жорданов базис, который будет образовывать линейно независимую систему на каждом уровне.  

• Доказательство основано на том, что все векторы в пространстве не нулевые и имеют высоту не больше единицы.  

• Если линейная комбинация исходных векторов равна нулю, то она также равна нулю для их образов.  

• Выбирается базис в самом верхнем пространстве, который переходит в линейно независимую систему в следующем пространстве.  

• Затем выбираются дополнительные векторы в каждом пространстве, которые образуют линейно независимую систему и дополняются до базиса.  

• В итоге получается, что выбранные векторы образуют базис в прямой сумме всех пространств, но разбиваются на цепочки.  

• Если пронумеровать эти цепочки снизу вверх, то они будут порождать варианты подпространств, которые также будут циклическими.