Урок 97. Теорема Штейнера

• Обсуждение моментов инерции различных тел.  

• Введение в теорему о параллельных осях, также известную как теорема Штейнера.  

• Теорема позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси, параллельной оси, проходящей через центр масс.  

• Вспоминание формулы для вычисления координаты центра масс.  

• Координата центра масс вычисляется как сумма произведений масс материальных точек на их координаты.  

• Формула полезна для вычисления координаты центра масс тела, представленного как совокупность материальных точек.  

• Разбиение тела на маленькие кусочки и вычисление момента инерции каждого кусочка.  

• Момент инерции тела вычисляется как сумма произведений массы кусочка на квадрат расстояния до оси вращения.  

• Формула применима для любого тела, разбитого на кусочки.  

• Выбор оси внутри тела и разбиение его на кусочки.  

• Вычисление момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс.  

• Использование метода координат для выражения расстояний до оси через координаты.  

• Вычисление момента инерции тела относительно оси, параллельной оси, проходящей через центр масс.  

• Использование формулы для вычисления квадрата расстояния между осью и кусочком.  

• Применение формулы квадрата разности для упрощения вычислений.  

• Вынесение общих множителей за скобки.  

• Приведение подобных членов и упрощение выражений.  

• Формулировка теоремы Штейнера и выражение момента инерции относительно оси, параллельной оси, проходящей через центр масс.  

• Момент инерции тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.  

• Теорема Штейнера позволяет вычислять момент инерции тела относительно любой оси.  

• Пример с тонким однородным стержнем: момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, равен одной двенадцатой массы стержня, умноженной на квадрат его длины.  

• Момент инерции относительно оси, параллельной оси, проходящей через центр масс, равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.  

• Момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно оси, проходящей через центр масс, равен одной двенадцатой массы параллелепипеда, умноженной на сумму квадратов его ребер.  

• Момент инерции относительно смещенной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.  

• Момент инерции монетки относительно оси, проходящей через центр масс, равен одной четвертой массы монетки, умноженной на квадрат ее радиуса.  

• Момент инерции относительно смещенной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.  

• Момент инерции системы, состоящей из стержня и шара, можно вычислить, считая шар материальной точкой или точно, используя теорему Штейнера.  

• Погрешность при использовании приближенного метода составляет около 1.6%, что является незначительной ошибкой для небольших размеров шара.