Урок 97. Теорема Штейнера

• Обсуждение моментов инерции различных тел: кольца, материальной точки, тонкостенного цилиндра, сплошного однородного цилиндра, диска, стержня, шара.  

• Упоминание теоремы о взаимно перпендикулярных осях.  

• Объявление темы урока: теорема Штейнера или теорема о параллельных осях.  

• Пример с телом произвольной формы и осью через центр масс.  

• Возможность нахождения момента инерции относительно любой оси, параллельной оси через центр масс.  

• Формула для вычисления координаты центра масс тела, представленного как совокупность материальных точек.  

• Объяснение знаменателя формулы: сумма масс всех частей тела.  

• Разбиение тела на маленькие кусочки и вычисление момента инерции каждого кусочка.  

• Формула для момента инерции: сумма произведений массы кусочка на квадрат расстояния до оси вращения.  

• Выбор оси внутри тела для вращения.  

• Разбиение тела на кусочки и нахождение квадрата расстояния до оси вращения для каждого кусочка.  

• Проведение оси через центр масс и обозначение расстояния между осями.  

• Введение координатных осей для выражения расстояний через координаты.  

• Применение теоремы Пифагора для вычисления квадрата расстояния до оси через координаты.  

• Подстановка значений в формулу для момента инерции.  

• Разбиение суммы на слагаемые и использование формулы квадрата разности.  

• Вынесение общих множителей и приведение подобных членов.  

• Выражение момента инерции относительно оси через центр масс через момент инерции относительно первоначальной оси.  

• Формулировка теоремы Штейнера: I0 = I - m * d².  

• Подчёркивание важности теоремы Штейнера для нахождения момента инерции относительно параллельных осей.  

• Момент инерции тела относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр массы, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.  

• Теорема Штейнера позволяет вычислять момент инерции относительно любой оси.  

• Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс, равен 1/12 m l².  

• Используя теорему Штейнера, находим момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня: 1/12 m l² + m l²/4 = 1/3 m l².  

• Любой момент инерции больше момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс.  

• Момент инерции прямоугольного параллелепипеда относительно оси, проходящей через центр масс, равен 1/12 m a² + b².  

• Находим момент инерции относительно смещённой оси: 1/12 m a² + b² + m a²/4 = 1/4 m a² + b².  

• Важно понимать вывод формулы, а не запоминать её.  

• Момент инерции монетки относительно оси, проходящей через центр масс, равен 1/4 m r².  

• Момент инерции относительно другой оси: 1/4 m r² + m r² = 5/4 m r².  

• Момент инерции системы стержень + шар относительно оси, проходящей через центр шара, равен 2/5 m r² + m r².  

• Приближённый момент инерции, если считать шар материальной точкой, равен m r².  

• Погрешность приближённого метода составляет около 1,6%.  

• Подчёркивается, что погрешность в 1,6% для небольшого шара является незначительной.  

• Завершение урока и переход в актовый зал.