Предел функции. Односторонний предел. Критерий Коши. Математический анализ. Лекция №9

• Лекция начинается с включения записи.  

• Рассматриваются два определения предела функции: по Коши и по Гейне.  

• Определение по Коши: предел функции равен б, если для любого эпсилон существует дельта, что для всех иксов из области определения, таких что икс отличается от а не больше чем на дельта, эф от икс отличается от б не больше чем на эпсилон.  

• Определение по Гейне: эф от икс сходится к б при икс стремящемся к а, если для любой последовательности икс, сходящейся к а, следует, что эф от икс н сходится к б.  

• Доказана эквивалентность этих определений.  

• Рассматриваются односторонние пределы: предел слева и предел справа.  

• Предел слева: для любого эпсилон существует дельта, зависящая от эпсилон, что для всех иксов из области определения, таких что икс минус а меньше или равно дельта, эф от икс отличается от б не больше чем на эпсилон.  

• Предел справа: для любого эпсилон существует дельта, зависящая от эпсилон, что для всех иксов из области определения, таких что икс плюс а меньше или равно дельта, эф от икс отличается от б не больше чем на эпсилон.  

• Пример функции сигнум: предел в точке ноль справа равен нулю, предел в точке ноль слева равен минус единице, значение функции в точке ноль равно нулю.  

• Предел функции в точке равен б тогда и только тогда, когда левый и правый пределы совпадают и равны б.  

• Определение предела функции при икс стремящемся к плюс бесконечности: для любого эпсилон существует э, зависящая от эпсилон, что для всех иксов из области определения, таких что икс минус плюс бесконечность меньше или равно э, эф от икс отличается от б не больше чем на эпсилон.  

• Окрестность бесконечной точки: рассматривается множество, содержащее бесконечную точку и все точки, которые можно получить из бесконечной точки при сжатии и сгибании бесконечной прямой.  

• Предел функции при стремлении к плюс бесконечности равен б, если для любого эпсилон существует м, что для всех иксов больше или равно м, функция отличается от б не более чем на эпсилон.  

• График функции лежит внутри трубки, начиная с иксов больше м.  

• Определение по Гейне: для любой последовательности иксов, сходящейся к плюс бесконечности, функция сходится к б.  

• Предел функции при стремлении к минус бесконечности равен б, если для любого эпсилон существует м, что для всех иксов меньше или равно минус м, функция отличается от б не более чем на эпсилон.  

• Определение по Гейне: для любой последовательности иксов, сходящейся к минус бесконечности, функция сходится к б.  

• Определение по Гейне и по Каши эквивалентны.  

• Предел функции на просто бесконечности равен б, если предел на плюс и минус бесконечности существует и равен б.  

• Определение по Каши: для любого эпсилон существует м, что для всех иксов по модулю больше м, функция отличается от б не более чем на эпсилон.  

• Определение по Гейне: для любой последовательности иксов, сходящейся к бесконечности, функция сходится к б.  

• Функция эф от икс равная единица на икс: предел при стремлении к плюс и минус бесконечности равен нулю.  

• Функция сигнум икс: предел при стремлении к плюс бесконечности равен единице, при стремлении к минус бесконечности равен минус единице, предел на просто бесконечности не существует.  

• Функция эф от икс определена в окрестности точки а, кроме самой точки а.  

• Функция удовлетворяет условию Каши, если для любого эпсилон существует дельта, что для всех икс штрих и икс два штриха в дельта-окрестности точки а, разность значений функции не превосходит эпсилон.  

• Теорема: функция удовлетворяет условию Каши, если для любого эпсилон и дельта, разность значений функции в точках икс штрих и икс два штриха не превосходит эпсилон.  

• Функция удовлетворяет условиям Коши, если для любого эпсилон больше нуля существует дельта, зависящее от эпсилон, такое, что для всех икс штрих и икс два штриха в окрестности точки а, функция в этих точках отличается не больше чем на эпсилон.  

• Доказательство необходимости: если существует предел функции, то условия Коши выполняются.  

• Если выполнены условия Коши, то для любой последовательности аргументов, сходящейся к а, значения функции сходятся к одному и тому же пределу.  

• Последовательность значений функции фундаментальна и сходится по критерию Коши.  

• Доказано, что пределы для разных последовательностей аргументов совпадают.  

• Условия Коши можно модифицировать для пределов на плюс и минус бесконечности.  

• Для пределов справа и слева от точки а условия Коши остаются теми же, но с соответствующими неравенствами.  

• Для пределов на плюс и минус бесконечности условия Коши также модифицируются.  

• Функции, имеющие предел, обладают определенными свойствами.  

• Эти свойства будут рассмотрены в следующих частях.  

• Предел функции при стремлении к точке а обобщается на другие пределы.  

• Арифметические операции над функциями с пределами приводят к функциям с пределами.  

• Доказательство тривиально и использует определение Гейне.  

• Функции, равные константе или тождественно равные икс, сходятся к соответствующим пределам.  

• Произведение сходящихся функций сходится к произведению пределов.  

• Полиномы сходятся к своим значениям в каждой точке числовой прямой.  

• Дробно-рациональные функции сходятся к частному пределов числителя и знаменателя.  

• Предел дробно-рациональной функции существует и равен значению функции в точке.  

• Функция с пределом в точке а ограничена в некоторой окрестности этой точки.  

• Доказательство использует определение Гейне и показывает ограниченность функции в дельта-окрестности.  

• Функция, равная единице на икс, не ограничена на всей числовой прямой, но ограничена в окрестности любой точки, кроме нуля.  

• В окрестности точки а функция ограничена, что доказывает теорему о локальной ограниченности.  

• Введены понятия бесконечно малых и бесконечно больших функций.  

• Бесконечно малые функции имеют предел, равный нулю, при стремлении к определенной точке.  

• Бесконечно большие функции имеют предел, равный бесконечности, при стремлении к определенной точке.  

• Функция f от x бесконечно мала в точке a, если предел функции при стремлении к a равен нулю.  

• Можно дать конструктивное определение по Каши: для любого epsilon больше нуля существует delta больше нуля, что для всех x из дельта-окрестности точки a, f от x по модулю меньше epsilon.  

• Если функция f от x сходится к b при стремлении к a, то она может быть записана как b плюс бесконечно малая функция альфа.  

• Предел функции f от x при стремлении к a равен бесконечности, если для любого большого числа m существует delta больше нуля, что для всех x из области определения, таких, что x отличается от a не больше чем на delta, f от x больше m.  

• Можно дать определение предела, равного плюс или минус бесконечности, аналогично.  

• Пример: функция 1/x имеет предел, равный бесконечности при стремлении к нулю.  

• Функция 1/|x| сходится к плюс бесконечности при стремлении к нулю.  

• Функция 1/x умножить на -1 в степени целая часть от 1/x ведет себя хаотично, не имея четко выраженного знака сходимости к бесконечности.  

• Для описания скорости сходимости используется o-символика.  

• Вопрос о доказательстве теоремы о сходимости последовательности через верхний и нижний предел.  

• Объяснение, что если последовательность сходится к a, то ее верхний и нижний пределы совпадают с a.  

• Вопрос о локальной ограниченности функции на дельта-окрестности.  

• Функция f от x ограничена на множестве X, если существуют константы M и M, такие что для любых x из X f от x находится между M и M.  

• Функция ограничена, если её значения зажаты между верхней и нижней гранями.  

• Одна и та же функция может быть ограничена на одном множестве и не ограничена на другом.  

• Функция f от x, равная единице на полупрямой от единицы до плюс бесконечности, ограничена.  

• На интервале от минус единицы до единицы функция не ограничена.  

• Ограниченность функции зависит от конкретного множества.  

• Функция, не имеющая предела в точке, не может быть локально ограничена.  

• Пример: функция, определенная в нуле, не ограничена в любой окрестности нуля.  

• Отсутствие предела в точке может привести к нелокальной ограниченности.  

• Доказательство опирается на определение по Гейне.  

• Последовательности аргументов, сходящиеся к точке, приводят к соответствующим пределам функций.  

• Применение теоремы об арифметических операциях для последовательностей показывает, что сумма, разность, произведение и частное функций также сходятся к нужным пределам.  

• Вопросы закончились, запись будет выложена в хранилище.  

• Возможно, на этой неделе будут добавлены определения для подготовки к коллоквиуму.  

• Прощание и благодарность за внимание.