Алгебраические расширения полей

• В видео обсуждается тема расширения полей и алгебраических элементов.  

• Рассматриваются два примера: поле ку и конечное поле характеристики п.  

• Алгебраический элемент - элемент, который является корнем многочлена над полем.  

• Поле частных от альфа - минимальное поле, которое содержит альфа и все многочлены от альфа.  

• Ядро гомоморфизма - множество многочленов, зануляющихся в элементе альфа.  

• Идеал, порожденный ядром, является простым идеалом.  

• Минимальный многочлен - многочлен минимальной степени, у которого есть корень, и все многочлены, у которых этот корень, не делятся на этот многочлен.  

• Обозначение минимального многочлена: м или мю с индексом альфа.  

• Доказывается, что многочлен не приводим, если он не приводит и имеет старший коэффициент единица.  

• Доказывается, что любой многочлен, у которого альфа является корнем, делится на эм альфа.  

• Теорема утверждает, что эф альфа с квадратными скобками равно эф альфа с круглыми скобками, если альфа является алгебраическим элементом.  

• На примере рациональных чисел и кубического корня из двух показывается, что эф альфа с квадратными скобками является полем.  

• Показывается, что эф альфа с квадратными скобками может быть вложено в поле комплексных чисел разными способами.  

• Алгебраический элемент - это элемент, который является корнем многочлена с коэффициентами из поля.  

• Если элемент является корнем многочлена, то он является алгебраическим элементом.  

• Расширение поля - это поле, содержащее все алгебраические элементы из исходного поля.  

• Расширение поля может быть конечным или бесконечным.  

• Поле частных - это поле, которое содержит все алгебраические элементы и является минимальным полем, содержащим их.  

• Поле частных может быть конечным или бесконечным.  

• Алгебраически замкнутое поле - это поле, в котором все корни многочленов лежат в этом поле.  

• Для доказательства алгебраической замкнутости поля нужно доказать, что все корни многочленов лежат в поле.  

• Поле разложения многочлена - это поле, в котором многочлен раскладывается на линейные множители.  

• Если поле разложения многочлена не существует, то поле является полем разложения.  

• В видео обсуждается понятие алгебраического расширения поля и его связь с многочленами.  

• Рассматривается пример расширения поля, состоящего из корней многочлена, и показывается, как можно добавлять корни многочлена для построения расширения.  

• Вводится понятие алгебраического замыкания поля и его свойства.  

• Обсуждается, как можно построить алгебраическое замыкание для любого поля, и показывается, что оно является единственным и дезоморфизмом.  

• В заключение видео автор обсуждает способы построения алгебраического замыкания для любого поля и отмечает, что это будет поле, состоящее из всех элементов, которые алгебраически замкнуты в исходном поле.