11.1. Касательная к неявной функции / производная неявной функции ПРИМЕРЫ

• Обсуждение вычисления производной функции, заданной неявно.  

• Пример первого задания: найти производную функции e^x*y = ln x^2 + y^2.  

• Объяснение, что функция задана неявно, если уравнение не разрешено относительно y.  

• Указание на необходимость учитывать производную y при дифференцировании.  

• Переписывание функции для удобства.  

• Вычисление производной e^x*y: производная произведения икс и игрек.  

• Умножение на производную игрек для учета зависимости от икс.  

• Вычисление производной натурального логарифма.  

• Перенос слагаемых с игрек штрих влево и вправо.  

• Приведение к общей черте дроби и выражение производной.  

• Найти производную игрек штрих от функции x^3y + 3y^3 - x + 1 = 0 в точке M0(1, 2).  

• Применение правил дифференцирования неявной функции.  

• Вычисление производной произведения икс куб игрек.  

• Умножение на игрек штрих для учета зависимости от икс.  

• Выражение игрек штрих и подстановка значений в точке M0.  

• Найти угловой коэффициент касательной к окружности x^2 - y^2 + 3y = 17 в точке M0(2, 1).  

• Вычисление производной функции и подстановка значений в точке касания.  

• Составить уравнение касательной к кривой x^5 + y^5 - 2xy = 0 в точке M0(1, 1).  

• Вычисление производной и подстановка значений для нахождения углового коэффициента касательной.  

• Произведение минус два икс игрек можно вынести за скобки.  

• Производная от икс равна единице, умноженной на второй множитель игрек.  

• Производная игрек равна игрек штрих.  

• Раскрываем скобки и приравниваем к нулю.  

• Выносим игрек штрих за скобки.  

• В скобках остается пять игрек в четвертой минус два икс.  

• Переносим слагаемые в правую часть.  

• Выражаем игрек штрих как дробь.  

• Находим значение производной в точке с координатами один, один.  

• Подставляем икс и игрек, получаем угловой коэффициент касательной.  

• Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания.  

• Составляем уравнение касательной.  

• Подставляем координаты точки касания и получаем уравнение касательной.  

• Задача решена, продолжение на следующем занятии.