Караваев В. А. - Молекулярная физика - Распределение Максвелла

• Распределение Максвелла описывает распределение молекул газа по скоростям.  

• Рассматривается распределение молекул по компонентам скорости.  

• Функция плотности вероятности для компоненты скорости по оси X.  

• Все направления движения равноправны, поэтому функции для других компонент скорости идентичны.  

• Все распределения статистически независимы, что позволяет перемножить функции.  

• Распределение скоростных точек в пространстве скоростей сферически симметрично.  

• Логарифмирование и дифференцирование функции плотности вероятности.  

• Вывод выражения для производной функции плотности вероятности.  

• Определение константы из условий нормировки.  

• Интеграл от минус бесконечности до бесконечности должен равняться единице.  

• Введение понятия температуры как меры средней кинетической энергии молекул.  

• Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов.  

• Вычисление среднего значения квадрата компоненты скорости.  

• Интегрирование функции плотности вероятности для определения константы альфа.  

• Определение констант и вывод окончательного вида функции плотности вероятности.  

• Вероятность численно равна площади под графиком функции.  

• Формула для плотности вероятности должна быть заучена наизусть.  

• Пример: число молекул с компонентой скорости в интервале от vx до vx + dvx.  

• Перемножение функций для расчета средних значений.  

• Среднее значение скорости равно нулю.  

• Молекулы движутся в обоих направлениях оси x с равной вероятностью.  

• Интеграл для расчета среднего значения скорости.  

• Вероятность того, что величина скорости лежит в интервале от v до v + dv.  

• Переход от интегрирования по объему к интегрированию по шаровому слою.  

• Формула для максвелловской функции распределения.  

• Максвелловская функция распределения молекул по скоростям.  

• История открытия Максвеллом закона распределения скоростей.  

• Анализ функции и нахождение максимума.  

• Среднее значение скорости: корень из 8kT/m.  

• Среднеквадратичная скорость: корень из 3kT/m.  

• Оценка средних скоростей для различных газов.  

• Средняя скорость для водорода: корень из 16kT/m.  

• Легкие газы движутся быстрее, тяжелые медленнее.  

• Пример с протеканием газа через пористую среду.  

• Давление в левом колене растет из-за соединения с внутренней частью стакана.  

• Метан легче воздуха, его плотность 16, а воздуха - 29.  

• Метан вытесняет воздух, что приводит к росту давления внутри стакана.  

• Модель Эхинвальда описывает движение идеального газа.  

• Более тяжелые шарики движутся медленнее, чем легкие.  

• В будущем будет рассмотрена броуновская частица.  

• Система должна быть изотропной и классической.  

• Взаимодействие частиц должно зависеть только от их координат, а не от скоростей.  

• Распределение Максвелла применимо к идеальному газу, жидкостям и твердым телам.  

• Частицы микромира обладают волновыми свойствами.  

• Луи де Бройль ввел длину волны де Бройля, характеризующую масштаб делокализации частицы.  

• Для классического описания объем должен быть значительно больше длины волны де Бройля.  

• Соотношение неопределенности Гейзенберга связано с условием классического описания.  

• Объем, приходящийся на одну частицу, должен быть значительно больше произведения импульса на постоянную Планка.  

• Это условие следует из соотношения неопределенности и позволяет описывать движение частиц классически.  

• Длина волны де Бройля характеризует масштаб де-локализации частицы.  

• Извлекаем корень кубический из отношения массы к скорости.  

• Температура системы должна быть значительно больше температуры вырождения.  

• Температура вырождения определяется выражением: н в степени две третьих аж квадрат делить на три мк.  

• Температура системы должна быть больше температуры вырождения для классического описания.  

• Масса частиц должна быть больше, а плотность меньше для выполнения условия.  

• Пример 1: Электронный газ в металле.  

• Пример 2: Газ-гелий.  

• Пример с серебром: относительная атомная масса 108, плотность 10.5 г/см³.  

• Оценка температуры вырождения: н в степени две третьих, где н - число Лошмидта.  

• Электронный газ в металле вырожден, применимо распределение Ферми-Дирака.  

• Пример с газом-гелием: число Лошмидта 2.7 на 10²⁵, масса 10⁻²⁶ кг.  

• Оценка температуры вырождения: н в степени две третьих, где н - число Лошмидта.  

• Газ-гелий при нормальных условиях не вырожден, применимо распределение Максвелла.  

• Число скоростных точек в каждом объемчике остается неизменным при равновесии.  

• Состав молекул меняется, но среднее число скоростных точек остается постоянным.  

• Принцип детального равновесия утверждает, что обмен должен происходить между каждой парой объемов.  

• Пример с тремя городами показывает, что для детального равновесия нужно случайное распределение жителей.  

• Жители должны бросать монетку перед выходом из дома для случайного распределения.  

• Опыты с атомными пучками подтверждают максвелловское распределение.  

• Печь с легкоплавким металлом создает максвелловское распределение атомов по скоростям.  

• Селектор скоростей и диафрагма позволяют выделить атомы с определенными скоростями.  

• Опыты Ламберта показали, что увеличение угловой скорости вращения не всегда приводит к увеличению скорости атомов.  

• В последующих опытах использовали вращающийся цилиндр для точного определения координат атомов.  

• Распределение Больцмана описывает плотность частиц в потенциальном силовом поле.  

• Моделирование показывает, что плотность частиц уменьшается с высотой.  

• В следующей лекции будет рассмотрено распределение Больцмана на основе барометрической формулы.