Логарифмическая функция и логарифмические уравнения | Математика, подготовка к ЕГЭ | Михаил Пенкин

• Видео начинается с объяснения понятия логарифма и его использования для упрощения решения показательных уравнений.  

• Логарифм числа b по основанию a равен показателю степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.  

• Примеры логарифмов: логарифм 16 по основанию 2 равен 4, логарифм 1/64 по основанию 4 равен -3.  

• Десятичный логарифм числа a равен логарифму числа a по основанию 10, натуральный логарифм числа a равен логарифму числа a по основанию e.  

• Графики логарифмических функций зависят от интервала, в котором находится основание.  

• Если основание больше единицы, функция возрастает, если основание меньше единицы, функция убывает.  

• Через точку (1,0) проходит график логарифмической функции.  

• Логарифмическая функция определена на интервале от 0 до +∞ при положительных значениях x.  

• Область значений логарифмической функции от -∞ до +∞.  

• Логарифмическая функция не является четной или нечетной.  

• Логарифм единицы по основанию a всегда равен 0.  

• Логарифм числа a по основанию a всегда равен 1.  

• Логарифм произведения и логарифм частного двух чисел равны сумме и разности логарифмов этих чисел соответственно.  

• Логарифм числа б по основанию а равен логарифму числа а по основанию б.  

• Логарифм произведения чисел б и ц по основанию а равен сумме логарифмов этих чисел по тому же основанию.  

• Логарифм частного равен разности логарифмов.  

• Логарифм б в степени п по основанию а можно вынести в виде множителя перед логарифмом при условии, что б больше нуля и п не равно нулю.  

• Логарифм б по основанию а в степени п можно вынести в знаменатель перед логарифмом при условии, что б больше нуля и п не равно нулю.  

• Логарифм б по основанию а можно представить как отношение логарифмов чисел а и б по общему основанию ц.  

• Пример 1: Логарифм произведения равен сумме логарифмов.  

• Пример 2: Логарифм частного равен разности логарифмов.  

• В видео рассматриваются логарифмические уравнения, которые имеют вид логарифма функции от икс по основанию а, равного б, где а больше нуля и а не равно единице.  

• Для решения таких уравнений часто используются логарифмирование и потенцирование, которые могут привести к сужению или расширению области допустимых значений.  

• В качестве примеров рассматриваются уравнения, которые решаются с помощью равносильных переходов и подстановки найденных корней.  

• В примере 3 решается уравнение вида логарифма двух умножить на три в степени икс минус единица по основанию три, равного один минус икс.  

• В примере 4 решается уравнение, где два десятичных логарифма функций равны друг другу.  

• В примерах 3 и 4 решаются уравнения с использованием равносильных переходов и подстановки найденных корней.  

• В примере 3 икс равняется логарифму три вторых по основанию три, а в примере 4 икс равняется пяти.  

• В данном примере необходимо решить уравнение: логарифм по основанию 2 + логарифм x - 1 по основанию 2 = 1.  

• Идея решения заключается в сведении суммы логарифмов к логарифму произведения и последующем потенцировании.  

• В результате получается квадратное уравнение, которое решается с учетом области определения: x > 0 и x > 1.  

• Решается квадратное уравнение, и проверяется выполнение второго условия.  

• В данном случае, x = -1 является посторонним корнем, так как неравенство x > 1 не выполняется.  

• Ответ: x = 2.  

• В данном примере используется формула приведения логарифмов к одному основанию.  

• В результате получается рациональное уравнение, которое решается заменой переменной.  

• В итоге, найдены два решения уравнения: x = 3 и x = 1/3.  

• Оба найденных значения x удовлетворяют области допустимых значений: x > 0 и x > 1.  

• Ответ: x = 3 и x = 1/3 являются решениями данного уравнения.