Алгебра и геометрия. Лекция 10. Преобразование координат. Линии и поверхности

• Преобразование координат важно для понимания линий и поверхностей.  

• Векторы и их координаты зависят от начала координат.  

• Пример с выбором системы координат для сферы.  

• Преобразование координат включает параллельный перенос и поворот осей.  

• Рассматриваются декартовы прямоугольные системы координат.  

• Переход от одной системы координат к другой включает параллельный перенос и поворот.  

• Параллельный перенос перемещает систему координат в новую точку.  

• Поворот осей на угол фи.  

• Задача преобразования координат: найти координаты точки в новой системе.  

• Рассматриваются две системы координат с общим центром.  

• Новый центр имеет координаты икс-ноль, игрек-ноль.  

• Вектор ом в старой системе имеет координаты икс, игрек.  

• Вектор ом складывается из векторов о-о штрих и о-о штрих-м.  

• Уравнения для связи координат в старой и новой системах.  

• Возможность нахождения координат в новой системе по координатам в старой.  

• Рассматриваются две системы координат с общим центром и углом между осями.  

• Нахождение координат точки м в старом базисе и новом базисе.  

• Связь старых координат с новыми координатами при повороте осей.  

• Вектор ом выражается через координаты икс и игрек в старом базисе.  

• В новом базисе вектор ом выражается через икс-штрих и игрек-штрих.  

• Для понимания связи координат нужно выразить икс-штрих и игрек-штрих через ижи.  

• Вектор икс-штрих складывается из вектора икс и вектора, лежащего на оси о-икс.  

• Вектор игрек-штрих складывается из вектора игрек и вектора, лежащего на оси о-икс.  

• Преобразование базисных векторов: икс-штрих = икс * косинус фи + игрек * синус фи, игрек-штрих = игрек * косинус фи - игрек * синус фи.  

• Вектор ом выражается через икс-штрих и игрек-штрих.  

• Координаты икс и игрек связаны с икс-штрих и игрек-штрих.  

• Общий случай: параллельный перенос и поворот.  

• Линии на плоскости и поверхности в пространстве определяются по-разному.  

• Линия на плоскости задается уравнением с двумя переменными.  

• Уравнение линии связывает координаты икс и игрек.  

• Уравнение окружности: икс-квадрат + игрек-квадрат = р-квадрат.  

• Любая точка окружности удовлетворяет этому уравнению.  

• Точка вне окружности не удовлетворяет уравнению.  

• Алгебраическая линия записывается алгебраическим уравнением.  

• Уравнение линии представляет собой сумму слагаемых.  

• Пример: сумма слагаемых, соответствующих значениям переменной и.  

• Пример: уравнение икс-квадрат плюс игрек-квадрат минус р-квадрат равно нулю.  

• Каждое слагаемое уравнения должно представлять собой выражение с коэффициентами и степенями переменных.  

• Порядок алгебраической линии определяется наибольшей суммой степеней переменных в слагаемых.  

• Примеры: окружность, парабола, гипербола.  

• Порядок линии определяется суммой степеней переменных в каждом слагаемом.  

• Прямая линия является алгебраической линией первого порядка.  

• При смене системы координат прямая линия остается алгебраической линией первого порядка.  

• Порядок линии остается неизменным в любой декартовой прямоугольной системе координат.  

• Порядок линии определяется наибольшей суммой степеней переменных в слагаемых.  

• Пример: уравнение прямой и гиперболы.  

• Гипербола является алгебраической линией второго порядка.  

• Доказательство сводится к раскрытию скобок и переходу между системами координат.  

• Рассматривается алгебраическая кривая порядка с в декартовой прямоугольной системе координат.  

• Переход в новую систему координат осуществляется параллельным переносом и поворотом.  

• Подставляются новые координаты и раскрываются скобки.  

• Возведение в степень приводит к суммированию степеней.  

• Пример с возведением в третью степень показывает, как образуются слагаемые.  

• Алгебраическая кривая сохраняет порядок при переходе между системами координат.  

• В новой системе координат кривая остается прямой, а не изгибается.  

• Для изменения формы кривой требуются более сложные преобразования.  

• Переход к поверхностям аналогичен переходу к линиям на плоскости.  

• Уравнение поверхности связывает три координаты икс, игрек и зет.  

• Пример сферы в пространстве показывает, как записывается уравнение.  

• Алгебраическая поверхность определяется аналогично алгебраической кривой.  

• Добавляется еще одна переменная зет.  

• Порядок поверхности определяется как наибольшая сумма степеней икс, игрек и зет.  

• Пример плоскости в пространстве: икс плюс игрек плюс зет равно один.  

• Пример сферы с центром в начале координат: икс в квадрате плюс игрек в нулевой плюс зет в нулевой.  

• Переход между системами координат сохраняет порядок поверхности.  

• На плоскости линии задаются алгебраическими уравнениями.  

• В пространстве уравнение прямой превращается в уравнение плоскости.  

• Уравнение должно связывать три переменные x, y, z, чтобы задавать поверхность.  

• Линии в пространстве задаются пересечением двух поверхностей.  

• Система из двух уравнений задает линию пересечения поверхностей.  

• Линии в пространстве требуют двух уравнений для задания.  

• Уравнение окружности в пространстве требует пересечения сферы и плоскости.  

• Уравнение сферы и плоскости задает окружность.  

• Уравнение z = 0 задает плоскость, но не цилиндр.  

• Линии в пространстве требуют двух уравнений для задания.  

• Уравнения могут быть эквивалентны, но задают одну и ту же линию.  

• Видео завершается прощанием и анонсом следующей встречи.