Комплексный анализ. Лекция 2a. Комплексные функциональные ряды. Комплексные функции exp, sin, cos

• Обсуждение рядов и функциональных последовательностей на комплексной плоскости  

• Цель: определение элементарных функций через ряды  

• Функциональные последовательности и их свойства  

• Равномерная сходимость функциональных последовательностей  

• Критерии и признаки равномерной сходимости рядов  

• Использование критериев и признаков для доказательства сходимости рядов  

• Связь сходимости рядов и непрерывности функций  

• Если ряд равномерно сходится и все его члены непрерывны, то сумма ряда тоже непрерывна  

• В видео обсуждается степенной ряд в комплексной плоскости и его связь с вещественным рядом.  

• Вещественный ряд, ассоциированный с комплексным степенным рядом, имеет радиус сходимости, который переносится на соответствующий круг сходимости.  

• Если модуль комплексного числа меньше радиуса сходимости, то ряд абсолютно сходится.  

• Если модуль комплексного числа меньше радиуса минус, то ряд равномерно сходится на замкнутом шаре радиуса минус.  

• Если модуль комплексного числа строго больше радиуса, то ряд расходится.  

• Доказательства аналогичны для вещественного случая.  

• Если модуль комплексного числа меньше радиуса сходимости, то исходный ряд сходится абсолютно.  

• Если взять любое комплексное число, модуль которого меньше радиуса сходимости, то исходный ряд будет абсолютно сходиться равномерно.  

• Если модуль комплексного числа приближается к радиусу сходимости, то равномерной сходимости не получится.  

• В данном видео обсуждается радиус сходимости степенного ряда, который определяется как радиус круга, внутри которого ряд сходится абсолютно, а вне которого расходится.  

• Для вещественных рядов радиус сходимости равен бесконечности, что означает, что ряд сходится для любых значений z.  

• В качестве примера рассматривается ряд с экспонентой, радиус сходимости которого равен бесконечности.  

• Для других примеров, таких как степенной ряд с квадратом и степенной ряд с модулем, радиус сходимости определяется с помощью эквивалентности и интегрального признака.  

• В третьей ситуации, когда радиус сходимости равен единице, ряд равномерно сходится на всей окружности, включая границу.  

• Это означает, что ряд сходится на всей окружности, включая ее границу, и не требует уменьшения радиуса для обеспечения равномерной сходимости.