Лекция №12. Разложение аффинного преобразования. Матрицы

• Ортогональные преобразования можно описать с помощью формул.  

• Рассматривается прямоугольная декартова система координат.  

• Векторы базиса ортогональны и образуют ортонормированный базис.  

• Вектор e1 под действием ортогонального преобразования может перейти в любой вектор единичной длины.  

• Вектор e2 может перейти в вектор с противоположным знаком.  

• Базис сохраняет ориентацию или меняет её в зависимости от преобразования.  

• Ортогональные преобразования первого типа включают поворот и параллельный перенос.  

• Преобразования второго типа включают поворот, отражение и параллельный перенос.  

• Эти преобразования можно реализовать через поворот, отражение и сдвиг.  

• Преобразование плоскости называется движением, если оно сохраняет длины.  

• Доказывается, что движение эквивалентно ортогональному преобразованию.  

• Ортогональное преобразование сохраняет длины, что делает его движением.  

• Движение определяется образами трех точек.  

• Треугольники равны по трем сторонам, что определяет положение точек.  

• Каждая точка получает единственный возможный образ.  

• Ортогональное преобразование определяется тремя точками.  

• Движение можно представить как ортогональное преобразование.  

• Доказано, что движение совпадает с ортогональным преобразованием.  

• Ортогональные преобразования и движения имеют одинаковый геометрический смысл.  

• В абстрактном и клидовом пространстве ортогональные преобразования играют важную роль.  

• Не каждое аффинное преобразование является движением, но движения играют большую роль.  

• Любое аффинное преобразование можно разложить на ортогональное преобразование и два сжатия.  

• Сжатия включают растяжения, умноженные на коэффициент по одному из направлений.  

• Теорема утверждает, что любое аффинное преобразование можно представить как произведение ортогонального преобразования и двух сжатий.  

• Теорема показывает, что любое аффинное преобразование можно собрать из движений и сжатий.  

• Однако, конструировать преобразования с помощью этой теоремы не так легко.  

• Теорема о том, что аффинное преобразование определяется образами трех точек, помогает в этом.  

• Если аффинное преобразование сохраняет перпендикулярность, то найдутся перпендикулярные прямые, образы которых также перпендикулярны.  

• Эти направления называются главными направлениями.  

• Для нахождения главных направлений можно использовать различные перпендикулярные направления и условия их перпендикулярности.  

• Использование вспомогательной окружности для доказательства.  

• Эллипс переходит в эллипс под действием аффинного преобразования.  

• Оси эллипса обозначаются как д-один и д-два.  

• Прообразы осей эллипса обозначаются как эль-один и эль-два.  

• Доказательство перпендикулярности эль-один и эль-два.  

• Центр окружности переходит в центр под действием аффинного преобразования.  

• Эллипс симметричен относительно своей оси.  

• Прообраз хорды параллелен хорде.  

• Перпендикулярность эль-один и эль-два доказана.  

• Главные оси эллипса переходят в перпендикулярные прямые.  

• Откладывание единичных отрезков на осях.  

• Определение ортогонального преобразования и его коэффициентов.  

• Сжатие и растяжение вдоль осей.  

• Определение коэффициентов сжатия и растяжения.  

• Проверка равенства преобразований.  

• Обзор пройденного материала.  

• Переход к изучению матриц и матричной алгебры.  

• Важность связи между геометрией и алгеброй.  

• Не все темы входят в программу экзамена.  

• Определитель и ранги будут рассмотрены позже.  

• Начало изучения матриц и их размеров.  

• Матрицы можно записать в виде таблицы с двумя индексами.  

• Первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца.  

• Матрицы могут содержать действительные, комплексные числа и другие объекты.  

• Строка или столбец матрицы также являются матрицами.  

• Подматрица - это матрица, полученная из пересечения нескольких строк и столбцов.  

• Миноры - это подматрицы, которые иногда называют определителями.  

• Главная диагональ матрицы состоит из элементов, где к - минимум из размеров матрицы.  

• Квадратная матрица - это матрица, у которой размеры равны.  

• Верхнетреугольная матрица - это квадратная матрица, где все элементы под главной диагональю равны нулю.  

• Нижнетреугольная матрица - это квадратная матрица, где все элементы над главной диагональю равны нулю.  

• Диагональная матрица - это матрица, где все элементы, кроме элементов на главной диагонали, равны нулю.  

• Матрица с одинаковыми элементами на главной диагонали называется скалярной.  

• Матрица с единицами на главной диагонали называется единичной.  

• Матрица, где все элементы равны нулю, называется нулевой.  

• Сложение матриц - это операция, при которой соответствующие элементы складываются.  

• Умножение матрицы на число - это операция, при которой каждый элемент умножается на это число.  

• Транспонирование матрицы - это операция, при которой строки и столбцы меняются местами.  

• Линейная комбинация - это сумма матриц с константами.  

• Линейная зависимость и независимость - это свойства, которые будут рассмотрены позже.  

• Теория линейной зависимости и независимости будет развита в будущем.  

• Транспонирование матрицы размера m на n создает матрицу размера n на m.  

• Элементы транспонированной матрицы соответствуют элементам исходной матрицы, но в обратном порядке.  

• Транспонирование является одной из возможных операций над матрицами.  

• Транспонирование сохраняет линейные операции сложения и умножения на число.  

• Транспонирование является изоморфизмом линейных пространств.  

• Пример доказательства равенства матриц через транспонирование.  

• Элементы транспонированных матриц совпадают с элементами исходных матриц.  

• Доказательство включает проверку индексов и элементов матриц.  

• Проверка равенства матриц завершена.  

• В следующем параграфе будет обсуждаться линейная комбинация и линейная зависимость векторов.  

• Появится новое понятие ранга, которое будет рассмотрено в следующем семестре.