Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга

• Эллиптические уравнения - третий тип уравнений второго порядка.  

• Основное эллиптическое уравнение - уравнение Лапласа.  

• Уравнение Лапласа описывает стационарное распределение температур.  

• Уравнение теплопроводности для тонкого длинного стержня.  

• Уравнение для произвольного тела с несколькими пространственными координатами.  

• Оператор Лапласа для одно-, двух- и трехмерных тел.  

• В стационарных процессах производная температуры по времени равна нулю.  

• Уравнение Лапласа: дельта у равно нулю.  

• Переход к решению уравнения Лапласа.  

• Постановка краевых задач для уравнения Лапласа.  

• Функция у зависит только от пространственных координат.  

• Условия на функцию у и ее производную по нормали на границе.  

• Условие Дирихле: функция у на границе равна заданной функции ф.  

• Условие Неймана: производная функции у по нормали на границе.  

• Условие Ньютона: функция у и ее производная по нормали на границе равны заданной функции ф.  

• Ограничение на плоские области омега.  

• Переход к полярным координатам для круговых областей.  

• Пересчет оператора Лапласа в полярных координатах.  

• Обсуждение уравнения Лапласа и его краевых задач: задача Дирихле, задача Неймана и третья краевая задача.  

• Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.  

• Введение второй задачи для уравнения Лапласа вне круга.  

• Переход от декартовых координат к полярным: переменные ро и фи.  

• Уравнение Лапласа в полярных координатах.  

• Поиск частного решения в виде произведения функций, зависящих от ро и фи.  

• Подстановка произведения функций в уравнение Лапласа.  

• Разделение переменных и получение двух уравнений.  

• Объявление констант и переход к системе уравнений.  

• Введение условий периодичности для уравнения Лапласа.  

• Преобразование условий периодичности в условия для функции фиш.  

• Получение задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лапласа.  

• Решение задачи Штурма-Лиувилля при различных значениях лямбда.  

• Обнаружение нетривиального решения при лямбда равном нулю.  

• Переход к уравнению Эйлера и его решение.  

• Функция р должна быть ограниченной.  

• Логарифм мро не является ограниченной функцией.  

• Введение константы д равной нулю для ограничения функции.  

• Решение задачи при лямбда равном нулю.  

• Константа с переопределяется как ц нулевое.  

• Получение одного из решений задачи.  

• Рассматривается случай, когда лямбда больше нуля.  

• Используется тригонометрическая форма записи решений.  

• Функция фи большое ставится в условие периодичности.  

• Фиксируется значение фи, например, при нуле.  

• Получаются два уравнения для косинуса и синуса.  

• Находятся собственные значения лямбда как квадрат натурального числа.  

• Подставляются найденные лямбда в функцию фи большое.  

• Получаются собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.  

• Переходим к уравнению Эйлера для положительных лямбда.  

• Рассматриваются способы решения уравнения Эйлера.  

• Используется эйлерова замена и поиск решения в подходящем виде.  

• Общий вид решения включает многочлены со степенями плюс и минус к.  

• Решения могут быть неограниченными внутри и вне круга.  

• Для ограниченности внутри круга константа дк равна нулю.  

• Для ограниченности вне круга константа ц равна нулю.  

• Перемножение функций фи-каторы и р большое кат дает общее решение.  

• Внутри круга положительные степени к, вне круга отрицательные степени к.  

• Константы с и т вносятся в тригонометрическую комбинацию.  

• Подставляются граничные условия на окружности.  

• Функция ф раскладывается в ряд Фурье по полярным переменным.  

• Находятся коэффициенты с нулевое, окаты и бкты.  

• Решаются две задачи Дирихле для уравнения Лапласа.  

• Получены формулы для нахождения коэффициентов.  

• Домашнее задание: решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга радиусом два.