Лекция 3. Обратная матрица

• Обратная матрица - это матрица, при умножении которой на исходную матрицу получается единичная матрица.  

• Обратные матрицы существуют только для квадратных матриц, и их размерность должна быть такой же, как у исходной матрицы.  

• Матрица имеет обратную, если ее определитель не равен нулю.  

• Матрицы, у которых определитель равен нулю, называются вырожденными.  

• Если взять обратную матрицу, а затем снова обратную, получится исходная матрица.  

• Если умножить матрицу на скаляр или число, а затем взять обратную, получится обратная к умноженному числу.  

• Если взять произведение матриц, а затем обратную, получится произведение обратных матриц в обратном порядке.  

• Если транспонировать обратную матрицу, получится транспонированная обратная матрица.  

• Матрицы можно умножать и транспонировать в любом порядке, результат будет одинаковым.  

• Обратная матрица равна произведению транспонированной матрицы на саму себя, деленному на определитель исходной матрицы.  

• Непосредственное вычисление: умножение матрицы на саму себя и приравнивание к единичной матрице.  

• Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы: умножение присоединенной матрицы на скаляр и деление на определитель исходной матрицы.  

• В видео объясняется, как вычислить определитель матрицы с помощью алгебраических дополнений.  

• Для матрицы три на три, определитель равен двойке, умноженной на каждый элемент.  

• Если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.  

• Если определитель не равен нулю, строится присоединенная матрица.  

• Элементы главной диагонали меняются местами, элементы побочной диагонали меняют знак.  

• После деления на определитель, получается обратная матрица.  

• Расширенная матрица получается путем добавления единичной матрицы к исходной.  

• Элементарные преобразования строк используются для достижения единичной матрицы на месте исходной.  

• Преобразования включают умножение строки на скаляр и перестановку строк местами.  

• После выполнения преобразований, на месте расширенной матрицы получается обратная матрица.  

• Автор объясняет, как добиться единичной матрицы в расширенной матрице, используя метод Гауса.  

• Она умножает строки на разные числа и прибавляет их к другим строкам, чтобы получить нули в нужных местах.  

• Автор объясняет, что если матрица не вырождена, то единичная матрица получается с единицами на диагонали и нулями в остальных местах.  

• Если определитель матрицы равен нулю, то в расширенной матрице может появиться строка, состоящая из нулей, что означает, что обратная матрица не существует.  

• Автор объясняет, что для решения задачи с расширенной матрицей нужно использовать только преобразование строк, а не столбцов.  

• Если матрица изначально записана в виде столбца, то можно использовать преобразование столбцов для получения единичной матрицы.