Лекция DSP 5: Преобразование Фурье

• В видео обсуждается преобразование Фурье, которое применяется к непериодическим сигналам.  

• Преобразование Фурье представляет собой сумму ряда Фурье, где коэффициенты связаны с частотой сигнала.  

• В видео объясняется, как вычислить коэффициенты Фурье для прямоугольной волны.  

• Коэффициенты Фурье определяются как значения функции синхронизации, умноженные на e в j omega t.  

• В видео показано, как восстановить сигнал, используя коэффициенты Фурье.  

• Для этого нужно добавить коэффициенты Фурье к функции, которая была определена ранее.  

• Автор объясняет, как определить преобразование Фурье для апериодических сигналов, используя аппроксимацию с помощью прямоугольников.  

• Он также обсуждает, как это преобразование можно использовать для перехода из временной области в частотную и обратно.  

• Автор приводит примеры преобразования Фурье для различных сигналов, включая дельта-функцию и сумму дельта-функций.  

• Он также объясняет, как сдвиг дельта-функции влияет на преобразование Фурье.  

• Автор обсуждает связь между преобразованием Фурье и другими преобразованиями, такими как преобразование Лапласа.  

• Он подчеркивает, что преобразование Фурье является более общим, чем ряд Фурье, и что преобразование Лапласа является более общим, чем преобразование Фурье.  

• Преобразование Фурье импульса в частотной области дает функцию синхронизации, которая является синусоидальной функцией.  

• Преобразование Фурье импульса в частотной области также дает функцию синхронизации, но с другой частотой.  

• Периодический сигнал может быть представлен в виде суммы дельта-функций, что приводит к постоянным коэффициентам ряда Фурье.  

• Преобразование Фурье периодического сигнала дает ряд Фурье, где коэффициенты равны единице, деленной на период.  

• Обратная связь между временной и частотной областями соответствует сдвигу фазы во временной области.  

• Преобразование Фурье периодического сигнала в частотной области соответствует ряду Фурье во временной области, где коэффициенты равны двум числам пи, умноженным на импульс.  

• Автор объясняет, что если у него есть серия импульсов, которые могут иметь одинаковую высоту в частотной области, но могут и не иметь ее, то когда он возвращает это во времени, получается периодический сигнал.  

• Он также объясняет, что если у него есть серия импульсов, которые могут быть одинаковой высоты в частотной области, то эти импульсы равномерно распределены по времени.  

• Автор объясняет, что если у него есть сигнал, он знает его ряд Фурье, и преобразование Фурье - это просто те же коэффициенты ряда Фурье, которые накладываются поверх импульсных функций в частотной области.  

• Он также обсуждает, что если у него есть периодический сигнал, то его ряд Фурье будет состоять из дельта-функций, и высоты этих дельта-функций соответствуют коэффициентам ряда Фурье.  

• Автор обсуждает линейность, временной сдвиг и симметрию преобразования Фурье.  

• Он также упоминает, что если у него есть пара сигналов, то при сложении их в ряд Фурье получается естественная комбинация сигналов.  

• Он также подчеркивает, что преобразование Фурье - это линейный оператор, и что если он сдвигает сигнал, то при преобразовании Фурье происходит фазовый сдвиг.  

• В видео обсуждается связь между периодическим сигналом и его преобразованием Фурье.  

• Если бы мы знали, что периодический сигнал реален, то его преобразование Фурье было бы четным и нечетным.  

• Это обобщение, которое можно использовать для понимания преобразования Фурье.  

• Четная часть преобразования Фурье соответствует действительной части, а нечетная - мнимой части.  

• Если сигнал четный, то преобразование Фурье также будет четным.  

• Если сигнал нечетный, то преобразование Фурье будет чисто воображаемым и нечетным.  

• Преобразование Фурье можно использовать для изучения свойств сигнала без необходимости вычисления преобразования Фурье.  

• Преобразование Фурье также используется для изучения производной и интеграла сигнала.  

• Преобразование Фурье и его свойства применимы к другим переменным.  

• Дуальность подразумевает, что если что-то происходит в одном домене, то это соответствует другому домену.  

• Свертка - ключевой принцип, который говорит о том, что если y из t равно x t, свернутое с h из t, то y omega x omega h из omega.