Теория вероятностей 4. Закон Колмогорова. Лемма Бореля-Кантелли.

• Завершение курса по вероятностному пространству.  

• Введение в аппарат случайных величин.  

• Рассмотрение леммы Барреля-Кантелли и построение нетривиального примера вероятностного пространства.  

• Введение в хвостовую сигма-алгебру.  

• Определение хвостовой сигма-алгебры как пересечения всех сигма-алгебр.  

• Хвостовая сигма-алгебра как стягивающаяся последовательность сигма-алгебр.  

• Хвостовая сигма-алгебра включает тривиальную сигма-алгебру.  

• Примеры элементов хвостовой сигма-алгебры.  

• Хвостовая сигма-алгебра не является тривиальной.  

• Введение остаточной сигма-алгебры.  

• Остаточная сигма-алгебра построена на системе независимых событий.  

• Примеры событий в остаточной сигма-алгебре.  

• Применение теоремы об аппроксимации к остаточной сигма-алгебре.  

• Независимость аппроксимирующих последовательностей для событий нулевой меры.  

• Переход к закону нуля-единицы Колмогорова.  

• Любой элемент алгебры можно описать конечным числом элементов.  

• Для каждого малого n существует элемент, принадлежащий сигма-алгебре.  

• Элемент kappa принадлежит минимальной сигма-алгебре относительно алгебры.  

• События a и kappa независимы, так как определяются непересекающимися множествами.  

• Пример с игральными кубиками показывает, что события независимы.  

• Интуиция в теории вероятности не всегда точна, поэтому важно доказать независимость.  

• Рассматриваются две системы множеств a и b.  

• Независимость совокупности событий достаточна, но не единственное условие.  

• Вводятся условия несовместности и независимости событий.  

• Любой элемент алгебры представим в виде суммы несовместных событий.  

• Это напоминает совершенную дизъюнктивную нормальную форму DNF.  

• Вводится обозначение для представления элементов алгебры.  

• Элемент kappa принадлежит минимальной сигма-алгебре.  

• Если элемент алгебры независим от любого элемента сигма-алгебры, то по теореме о продолжении непрерывности, любой элемент сигма-алгебры независим от элемента алгебры.  

• Рассматривается произвольный элемент из алгебры.  

• Элемент представляется в виде суммы степеней.  

• Переобозначение элементов для удобства.  

• Элементы алгебры независимы.  

• Вероятности событий независимы в совокупности.  

• Произведение вероятностей событий равно вероятности события.  

• Любой элемент из алгебры не зависит от любого элемента сигма-алгебры.  

• Свойство хвостовой сигма-алгебры позволяет определить элемент на основании далеких событий.  

• Вероятность события из достаточной сигма-алгебры может быть только нулем или единицей.  

• Пример с независимыми алгебрами показывает, что это свойство может быть простым.  

• Лемма утверждает, что вероятность хвостового события равна нулю или единице в зависимости от условий.  

• Доказательство первой части леммы: если сумма вероятностей меньше бесконечности, то вероятность равна нулю.  

• Доказательство второй части леммы: если сумма вероятностей равна бесконечности и события независимы, то вероятность равна единице.  

• Если система событий зависима и ряд расходится, вероятность остаточного события может быть любой.  

• Лемма Барреля-Гали не полностью исследована, но можно построить пример для любого числа от 0 до 1.  

• Рассматривается ступенчатая функция, которая может описывать различные события, такие как количество особей в популяции или обращений к серверу.  

• Цель - построить вероятностную меру для этой функции при фиксированном моменте времени.  

• Определяются элементарные исходы и сигма-алгебра.  

• Вероятностная мера зависит от момента времени и должна учитывать этот факт.  

• Вероятность того, что количество событий не зависит от интервала времени.  

• События на непересекающихся полуинтервалах независимы.  

• Вероятность того, что на очень маленьком интервале произойдет более одного события, мала.  

• Эти условия носят качественный характер и описывают простейший поток событий.  

• Простейший поток событий является важным примером в случайных процессах.  

• Рассматривается интервал 0-1 и его разбиение на равные части.  

• Вероятность того, что за время т произошло ноль событий, меньше или равна вероятности за время м минус один на н.  

• Вероятность того, что за время м делить на н не произошло ни одного события, больше или равна вероятности за время т.  

• Если за время тени не произошло ни одного события, то за время м минус один н также не произошло ни одного события.  

• Вероятность события меньше, если оно является подмножеством.  

• Преобразования вероятностей включают деление и умножение на н.  

• События независимы по условию два.  

• Вероятность произведения событий равна произведению вероятностей каждого события.  

• Вероятность п ноль единица на н в степени м равна п ноль от единицы.  

• Вводится обозначение е в степени минус лямда.  

• Вероятность п ноль от т меньше или равна е в степени минус лямда м делить на н.  

• При стремлении м к бесконечности, получаем п ноль от т равно е в степени минус лямда т.  

• Полная система событий за время тау равна нулю, одному или больше единицы.  

• Вероятность п один от тау равна лямбда тау плюс у малый от тау.  

• Это второе свойство, которое будет нужно для дальнейших расчетов.  

• Вероятность того, что за время т плюс тау произошло к событий, равна произведению вероятностей событий за время т и тау.  

• Независимость событий позволяет записать вероятность как произведение вероятностей каждого события за время т и тау.  

• Завершение обсуждения с упоминанием о нехватке времени для завершения всех расчетов.